专题01 函数及其表示-2021年新高考数学函数和导数专题篇复习精讲练导学案

2.1函数及其表示 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用 【要点整合】 1.函数与映射的相关概念 (1)函数与映射的概念 函数 映射 两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合 对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (3)构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. (4)函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 2.函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}. (5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R. (6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞). (7)y＝tanx的定义域为. 3.函数的值域 函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域： (1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R. (2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)． (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)， 当a>0时，二次函数的值域为； 当a<0时，二次函数的值域为. 求二次函数的值域时，应掌握配方法：. (4)y＝sinx的值域为[−1,1]． 4.分段函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 【典例讲练】 题型一 函数的定义域 【例1-1】函数f(x)＝的定义域为________． 答案　{x|x≥2} 解析　由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2， 满足x>0， 所以函数f(x)＝的定义域为{x|x≥2}． 【例1-2】若函数的定义域是，则函数的定义域为________． 【答案】 【解析】的定义域是，的定义域是，则的定义域为满足不等式的x的取值范围，，故答案为. 归纳总结： 【练习1-1】函数f(x)＝ln＋的定义域为________________． 答案　[－4,0)∪(0,1) 解析　由解得－4≤x<0或0<x<1，故函数f(x)的定义域为[－4,0)∪(0,1)． 【练习1-2】若函数y＝f(x)的定义域是[0,2 020]，则函数g(x)＝的定义域是(　　) A．[－1,2 019] B．[－1,1)∪(1,2 019] C．[0,2 020] D．[－1,1)∪(1,2 020] 答案　B 解析　使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2 020，解得－1≤x≤2 019，故函数f(x＋1)的定义域为[－1，2 019]．所以函数g(x)有意义的条件是 解得－1≤x<1或1<x≤2 019.故函数g(x)的定义域为[－1,1)∪(1,2 019]． 题型二 求函数的解析式 【例2-1】已知，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法一（配凑法）：， 又， 所以. 方法二（换元法）：令，则，所以，所以. 【例2-2】若一次函数满足，则______． 【答案】1 【解析】因为是一次函数，故可设， 则， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为1. 【例2-3】已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2·f()·－1，求f(x)的解析式． 【答案】f(x)＝＋(x>0)． 【解析】在f(x)＝2f()·－1中，用代替x， 得f()＝2f(x)·－1， 由 得f(x)＝＋(x>0)． 归纳总结： 1．换元法： 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用