5.1.1 小船过河与速度关联问题—【新教材】人教版（2019）高中物理必修二同步检测

小船渡河问题 1.特点：小船的实际运动是船随水流的运动(速度为v水)和船在静水中的运动(速度为v船)的合运动。船的航行方向是实际运动的方向,即合速度的方向。两个方向的运动情况相互独立、互不影响。 2.渡河时间最短问题：当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 3.渡河时间最短问题：如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d；如果v船<v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于 例1：小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4 m/s。(1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？(2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？(3)小船渡河的最短时间为多长？(4)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？ (1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动．因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间， 即t＝＝ s＝50 s 小船沿水流方向的位移s水＝v水t＝2×50 m＝100 m即船将在正对岸下游100 m处靠岸。 (2)要使小船到达正对岸，合速度v应垂直于河岸，如图甲所示，则 cos θ＝＝＝，故θ＝60° 即船的航向与上游河岸成60°，渡河时间t＝＝ s＝ s. (3)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角θ，如图乙所示．船渡河的时间取决于垂直于河岸方向的分速度v⊥＝v船sin θ，故小船渡河的时间为t＝.当θ＝90°，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间为tmin＝50 s. (4)因为v船＝3 m/s<v水＝5 m/s，所以船不可能垂直河岸横渡，不论航向如何，总被水流冲向下游．如图丙所示，设船头(v船)与上游河岸成θ角，合速度v与下游河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂向下游的距离x′越短．以v水的矢尖为圆心，以v船的大小为半径画圆，当合速度v与圆相切时，α角最大． 则cos θ＝＝，故船头与上游河岸的夹角θ＝53° 又＝＝，代入数据解得x′≈267 m。 变式训练：已知某船在静水中的速度为v1＝5 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100m，水流速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行， (1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移的大小是多少； (2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？ (3)若水流速度为v2′＝6 m/s，船在静水中的速度为v1＝5 m/s不变，船能否垂直河岸渡河？ 答案　(1)20 s　20 m　(2)25 s　(3)不能 解析　(1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，最短时间为t＝＝ s＝20 s. 如图甲所示，当船到达对岸时，船沿平行于河岸方向也发生了位移，由几何知识可得，船的位移为l＝，由题意可得x＝v2t＝3×20 m＝60 m，代入得l＝20 m. (2)当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v1＝5 m/s，大于水流速度v2＝3 m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸.如图乙所示，设船斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有v1cos θ＝v2，cos θ＝＝0.6，则sin θ＝＝0.8，船的实际速度v＝v1sin θ＝5×0.8 m/s＝4 m/s，所用的时间为t＝＝ s＝25 s. (3)当水流速度v2′＝6 m/s时，则水流速度大于船在静水中的速度v1＝5 m/s，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河。 例2：（多选）河水的流速与船离河岸的距离的变化关系如图1所示，船在静水中的速度与时间的关系如图2所示，若要使船以最短时间渡河，则 BC A．船渡河的最短时间25s B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 C．船在河水中航行的加速度大小为a=0.4m/s2 D．船在河水中的最大位移为156m 解析：当静水速与河岸垂直时，渡河时间最短，，故A错误，B正确．船在沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，由图可知，当发生50米的位移时，所以时间秒，而水流速度变化为，根据，可得加速度大小为故C正确．船在航行中相对于河水的最大速度为，那么船在河水的位移为，故D错误．故选BC 变式训练：(多选)河水的流速与某河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示.若要使船以最短时间渡河，下列说法正确的是(　AB　) A.船渡河的最短时间为100 s B.船在行