专题07 函数的性质（知识点串讲）-2020-2021学年高一上学期数学期中期末考点大串讲（新教材苏教版必修第一册）

专题07 函数的性质（知识点串讲） 【知识点--考点思维导图】 【重难突破】 知识点一 函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． （4）分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 典例1（1）【广州市第二中学2017-2018学年高一上学期期末】函数 的定义域是 A. B. C. D. （2）（2020·浙江省学军中学高一期末）已知函数 ，则 的值为（ ） A．1 B．2 C． D． （3）（2020·山东省青岛二中高一期末）下列哪个函数的定义域与函数 的值域相同（ ） A． B． C． D． 变式1-1（2020·河北省正定中学高一期中）若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 变式1-2（2020·重庆巴蜀中学高一期末）若 ，则 的解析式为（ ） A． B． C． D． 变式1-3 【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高一下学期期末】已知函数 ，则不等式 的解集为 ( ) A． B． C． D． 变式1-4 【宁夏石嘴山市第三中学2017-2018学年高一下学期期末】若函数 的定义域为 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 知识点二 函数的单调性与最值 (1)单调函数的定义 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 典例2【江西省高安中学高一上学期期末】下面给出的四个函数中，既是奇函数且在定义域内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 变式2-1【重庆市第八中学高一上学期期末】已知 在 上是减函数，若 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 变式2-2（2020·河北省正定中学高一期中）若函数 ，且满足对任意的实数 都有 成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 知识点三 函数的奇偶性与周期性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 典例3 （2020·上海格致中学高一期末）下列函数中是偶函数的是( ) A． B． C． D． 变式3-1（2020·济南市历城第二中学高一期末）设 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （ ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 变式3-2【黑龙江省大庆中学高一上学期期末】已知 ， ，则 的值为（ ） A.-13 B.13 C.7 D.-7 变式3-3（2018年江苏卷）. 函数满足，且在区间上， 则的值为________． 知识点四、函数性质的综合 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (