考点08 正、余弦定理-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

考点08 正、余弦定理 知识理解 一．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC 变形 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； sin A＝，sin B＝，sin C＝； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； asin B＝bsin A， bsin C＝csin B， asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 使用条件 1.两角一边求角 2.两边对应角 1.三边求角 2.两边一角求边 二.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 考向分析 考向一 正余弦的选择 【例1】（1）（2020·陕西省商丹高新学校）已知在中，，则_______． （2）（2020·全国高三专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由于， 所以由正弦定理可得：，即：，解得：， 由于在中，，根据大边对大角可知：，则, 由，解得：，故答案为 （2）由正弦定理，得，结合可得，则. 【举一反三】 1．（2020·吉林高三其他模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则__． 【答案】5 【解析】因为，，， 所以由正弦定理，可得，解得．故答案为：5 2．（2020·海南华侨中学高三月考）在中，已知，，，则角的度数为______． 【答案】30° 【解析】由正弦定理，得， 又因为，故．故答案为：30°． 3．（2020·肥东县综合高中高三月考（文））在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则________． 【答案】 【解析】由正弦定理知，，所以，解得， 则或，又因为，所以为锐角，即，所以， 故答案为: . 4．（2020·上海市罗店中学）在中，已知，则=______ 【答案】或. 【解析】在中，因为， 由正弦定理得，即所以，所以或 当时，得到，所以，故； 当时，得到，所以. 故答案为：或. 5．（2020·湖北高三月考）在中，，，则__________. 【答案】 【解析】因为，所以， 所以，解得.故答案为： 考向二 边角互换 【例2】（1）（2020·上海高三其他模拟）在锐角△中，角所对应的边分别为，若，则角等于________. （2）（2020·上海格致中学高三月考）在三角形中，角的对边分别为，若，则角________ 【答案】（1）（2） 【解析】（1）利用正弦定理化简，得，因为，所以，因为为锐角，所以． （2）由得：，即， ，是三角形的内角，故答案为：. 【举一反三】 1．（2020·全国高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为，若，则角________． 【答案】 【解析】∵，∴ 根据正弦定理边角互化得：， 又∵，∴ ，∴ ， ∵为锐角三角形，∴ ∴ 故答案为： 2．（2020·全国高三专题练习）在中，角所对应的边分别为．已知，则______ ． 【答案】 【解析】将，利用正弦定理可得：， 即，∵，∴，利用正弦定理可得：， 则． 故答案为． 3．（2020·广东中山纪念中学高三月考）的内角的对边分别为若，则B=___________. 【答案】 【解析】已知， 由正弦定理可得，， 由，化简可得，∵，故．故答案为： 4．（2020·西安市第六十六中学高三期末（文））在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则角______. 【答案】 【解析】由正弦定理及 可得：,在中，， ∴,即∴，又B为三角形内角，∴= 故答案为:. 5．（2020·拉孜县中学高三月考）在中，角的对边分别为，且.则_________ 【答案】 【解析】由正弦定理可知， 化简得， ， 又由，，得出，故答案为：. 考向三 三角形的面积公式 【例3】（1）（2020·天津耀华中学高三期中）在中..则的面积等于________． （2）（2020·北京铁路二中高三期中）若的面积为，则________． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由余弦定理得，即，解得（舍去），所以．故答案为：． （2）因为，所以， 又因为，所以，解得， 因为，所以，故答案为： 【举一反三】 1．（2020·陕西高三三模）已知，，分别为内角，，的对边，，，，则的面积为__________. 【答案】 【解析】由于，，， ∵，∴，， 由余弦定理得，解得， ∴的面积. 故答