考点06 诱导公式及恒等变换-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

考点06 诱导公式及恒等变换 知识理解 一．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) －α π－α π＋α －α ＋α 正弦 sin α －sin α sin α －sin α cos α cos α 余弦 cos α cos α －cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α －tan α －tan α tan α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 二．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β tan(α－β)＝ tan(α＋β)＝ 三．二倍角公式 （1）sin 2α＝2sin αcos α sin 2α＝sin αcos α （2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α （3） tan 2α＝ 考向一 诱导公式考向分析 【例1】（2020·四川射洪中学高三月考（理））已知角的终边经过点. （1）求，； （2）求的值. 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）由题意可得：， 由角的终边上的点的性质可得，； （2）由（1）可知，，再结合诱导公式得： ，所以 【方法总结】 1． 奇变偶不变，符号看象限的理解 二．诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 三含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 【举一反三】 1． （2020·全国高三专题练习）化简：. 【答案】. 【解析】. 2．（2020·全国高三专题练习）若角的终边上有一点，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）点到原点的距离为， 根据三角函数的概念可得，解得，（舍去）. （2）原式， 由（1）可得，，所以原式. 3．（2020·全国高三专题练习）已知角的终边经过点 （1）求的值； （2）求的值 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由题意角的终边经过点，可得， 根据三角函数的定义，可得. （2）由三角函数的诱导公式，可得 . 考向二 恒等变化 【例2】（1）（2020·四川省阆中东风中学校高三月考）等于（ ） A． B． C． D． （2）（2020·甘肃高二单元测试）( ) A． B． C． D． （3）（2019·广东华南师大附中高三月考（理））若，则的值为（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】（1）A（2）C（3）B 【解析】（1） .故选：A （2）∵， ∴．故选C． （3）由， 又，原式.故选：B. 【举一反三】 1．（2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考（理））（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】。故选：C 2．（2019·陕西） =( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 3．下列各式中，化简结果等于的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A, =,不合题意, 对于选项B, =,不合题意, 对于选项C,，符合题意, 对于选项D, = , 不合题意,故选C. 5．（2020·广西高三其他模拟（理））已知，，则＝______. 【答案】 【解析】因为，，所以， 所以，则，则. 6．（2020·全国高三专题练习）若sin＝，则cos2x＝________. 【答案】 【解析】由诱导公式得sin＝－cosx＝，故cosx＝－.由二倍角公式得cos2x＝2cos2x－1＝.故答案为：． 7．（2020·浙江）已知，则________；________． 【答案】 【解析】因为，所以； .故答案为：；. 考向三 角的拼凑 【例3】（1）（2020·全国高三专题练习）已知α为钝角，sin＝，则sin＝__________. （2）（2020·深圳实验学校高三月考）已知，则的值为_________ 【答案】（1）－（2） 【解析】（1）因为α为钝角，所以cos＝－， 所以sin＝sin＝cos＝－.故答案为：． （2）由，可得， 所以， 所以.故答案为：. 【方法总结】 【举一反三】 1．（2020·湖北高三月考