考点05 三角函数定义及同角三角函数-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

考点05 三角函数定义及同角三角函数 知识理解 一．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)． (3)弧度制 ①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径． ③弧度与角度的换算：360°＝2π rad；180°＝π rad；1°＝ rad；1 rad＝度． 二．任意角的三角函数 1.定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)． 则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 2.三角函数在每个象限的正负如下表： 三角函数 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ tan α ＋ － ＋ － 三．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1 (2)商数关系：＝tan α. 四．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α； (2)tan α＝的变形公式：sin α＝cos_αtan_α；cos α＝. 考向一 角度制与弧度制的转换考向分析 【例1-1】（2020·全国课时练习）填表（弧度数用含的代数式表示），并在平面直角坐标系中作出角的终边. 度 弧度 【答案】填表见解析，作图见解析 【解析】如表， 度 弧度 0 如图： 对应的角的终边分别为图中的射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，OI. 【例1-2】（2020·全国课时练习）把下列各弧度化为角度. （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 【解析】（1）；（2）；（3）； （4） ；（5）；（6）. 【例1-3】（2019·全国高三专题练习）将－1485°改写成2kπ＋α(0≤α<π，k∈Z)的形式是(　　) A．－8π＋ B．－10π－ C．－8π＋ D．－10π＋ 【答案】D 【解析】﹣1485°＝﹣1800°+315°＝﹣10π+．故选D 【方法总结】 【举一反三】 1．（2020·全国课时练习）把下列角度化成弧度： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）． 2．（2020·全国课时练习）将下列角度与弧度进行互化. （1）20°；（2）－15°；（3）（4）－. 【答案】（1）20°＝；（2）－15°＝－；（3）＝105°；（4）－＝－396°. 【解析】（1）20°＝＝. （2）－15°＝－＝－. （3）＝×180°＝105°. (4)－＝－×180°＝－396°. 3．（2020·全国高三专题练习）把化成的形式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故选D. 4．（2019·全国高三专题练习）将－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　) A．－－8π B．－8π C．－10π D．－10π 【答案】D 【解析】由题意，可知－1485°＝－5×360°＋315°，又π＝180°，则315°＝， 故－1485°化成＋2kπ(0≤<2π，k∈Z)的形式是－10π． 考向二 三角函数定义 【例2】（1）（2020·云南）已知角的终边经过点，则等于（ ） A． B． C． D． （2）（2020·广东）已知角的终边上一点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】（1）A（2）D 【解析】（1）因为角的终边经过点，所以，所以， 故选：A （2） 由三角函数的定义可得故选：D 【举一反三】 1．（2020·北京）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，那么的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，所以．故选：C． 15．（2020·商南县高级中学）角的终边过点，若，则的值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件可知， 由三角函数的定义可知，，解得：.故选：B 3．（2019·吉林高三月考（文））若点在角的终边上，则的值是（