6.3平面向量基本定理及坐标表示-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）

6.3 平面向量基本定理及坐标表示 SHAPE \* MERGEFORMAT 1、平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2、平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3、平面向量的坐标运算 （1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝2,1)eq \r(x＋yeq \o\al(2,1)) . （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2). 4、平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 5、注意 （1）若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2. （2）若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. （3）向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系。两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的。 题型一 平面向量基本定理及其应用 (OC,\s\up6(→)) 例 1　在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up6(→))，则eq \f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝________. 【答案】eq \f(1,3). 【解析】因为eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up6(→))，所以eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,