2.3 第2课时 函数单调性的证明及应用 (冲关演练案Word练习)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第一册(北师大版)

第二章　§3　第2课时 1．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则有(　　) A．a≥　　　　　 B．a≤ C．a＞ D．a＜ D　[若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则2a－1＜0，即a＜.] 2．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则(　　) A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a) C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a) D　[a2＋1－a＝＞0，2＋ 得a2＋1＞a，从而f(a2＋1)＜f(a)．] 3．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，2]时，f(x)是减函数，则f(1)＝________． －3　[f(x)＝2＝2，，由题意得2＋3－ ∴m＝8． ∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.] 4．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数． 证明　∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝． ＝－ 由于1＜x1＜x2，所以x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0． 故f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)． 所以f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数． 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是(　　) A．y＝　　　　 B．y＝2x－1 C．y＝－|x| D．y＝x2－3x B　[选项A中函数在区间(0，＋∞)上是减函数；选项B中函数在区间(0，＋∞)上是增函数；选项C中函数在区间(0，＋∞)上是减函数；选项D中函数对称轴是x＝上为增函数．]上为减函数，在，所以函数在 2．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 B　[由于函数y＝ax与y＝－＜0.所以函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上单调递减．]在(0，＋∞)上均为减函数，所以a＜0，b＜0.所以二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象开口向下，且对称轴为直线x＝－ 3．函数f(x)＝9－ax2(a＞0)在[0,3]上的最大值为(　　) A．9 B．9(1－a) C．9－a D．9－a2 A　[∵a＞0，∴f(x)＝9－ax2(a＞0)开口向下，以y轴为对称轴．∴f(x)＝9－ax2(a＞0)在[0,3]上单调递减． ∴当x＝0时，f(x)有最大值，为9.] 4．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有＜0，则(　　) A．f(3)＜f(2)＜f(1) B．f(1)＜f(2)＜f(3) C．f(2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(2) A　[对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有＜0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，f(x)在R上是减函数．又3＞2＞1，所以f(3)＜f(2)＜f(1)．] 5．(多选题)函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则a的取值可以是(　　) A．－2　 B．－1 C．0　 D．1 ABC　[由题意得f(x)＝(x－a)2－a2＋a，所以函数的对称轴为x＝a.若a≥1，则函数在区间(－∞，1)上是减函数．因为是开区间，所以没有最小值．所以a＜1，此时当x＝a时取得最小值．所以a∈(－∞，1)．] 6．已知函数f(x)＝(k≠0)在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________． (－∞，0)　[函数f(x)是反比例函数，若k＞0，则函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数；若k＜0，则函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数．所以k＜0.] 7．(多空题)函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a＜b＜3)上有最大值9，最小值－7.则a＝______，b＝______． －2　0　[∵y＝－x2＋6x＋9的对称轴为x＝3，a＜b＜3，∴函数在[a，b]上单调递增． ∴或解得 又∵a＜b＜3，∴] 8．(多空题)设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)＞f(2m－1)，则实数m的取值范围是____________，f(a2＋a－1)与f的大小关系是____________． (0，＋∞)　f(a2＋a－1)≤f，≥－2－　[由f(m－1)＞f(2m－1)且f(x)是R上的减函数，得m－1＜2m－1，所以m＞0.又因为a2＋a－1＝ 所以f(a2＋a－1)≤f.] 9．证明：函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数． 证明　任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x． ＝(x1－x2)＋－x－ ∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＋＞0． ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1