专题17 四边形中巧作辅助线造相似-2020-2021学年九年级数学下册难点突破（人教版）

专题17 四边形中巧作辅助线造相似 1、如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形． 探究发现 （1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 拓展运用 （2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长． （3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长． 2、阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题． 数学课上，老师出示了这样一道题： 如图1，点E是正△ABC边AC上一点以BE为边做正△BDE，连接CD．探究线段AE与CD的数量关系，并证明． 同学们经过思考后，交流了自已的想法： 小明：“通过观察和度量，发现∠ABE与∠DBC相等．” 小伟：“通过全等三角形证明，再经过进一步推理，可以得到线段BC平分∠ACD．” … 老师：“保留原题条件，连接AD，F是AB的延长线上一点，AD＝DF（如图2），如果BD＝BF，可以求出CE、CB、EB三条线段之间的数量关系．” （1）求证：∠ABE＝∠DBC； （2）求证：线段BC平分∠ACD； （3）探究CE、CB、EB三条线段之间的数量关系，并加以证明． 3、如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE． （1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD； （2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长； （3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明． 4、如图，在矩形ABCD中，点P为BC边上一点（BP＞CP），∠APD＝90⁰，将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，PC′的延长线交AD于点M，过点A作AN∥PM交BC于点N． （1）试判断四边形AMPN的形状并说明理由； （2）如图2，连接BD，分别交MP，AP于点E，F，若tan∠PDC＝，求的值． 5、已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE（1）如图1，过点E作EN⊥AE交CD于点N ①若BE＝1，求CN的长； ②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，求BE的长； （2）如图2，连接BD，设BE＝m，试用含m的代数式表示S四边形CDFE：S△ADF值． 6、已知在▱ABCD中，点E，F分别为边AB，BC上的点，∠ADE＝∠BAF，DE，AF交于点M． （1）如图1，若∠ABC＝90°，求证：△AEM∽△AFB； （2）若E为AB中点． ①如图2，若AF⊥BC，＝，求的值； ②如图3，若∠ABC＝60°，＝n，请直接写出的值（用n的式子表示）． 7、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动． （1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标； （2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长； （3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 8、在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF． （1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长； （2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF＝DF； （3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论． 9、如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边AB上的动点（点D不与点AB重合），点G在边AB的延长线上，∠CDE＝∠A，∠GBE＝∠ABC，DE与边BC交于点F． （1）求cosA的值； （2）当∠A＝2∠ACD时，求AD的长； （3）点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：BE的值；如果变化，请说明理由． 10、在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是BC上一点． （1）如图1，AD平分∠BAC，求证：AB＝AC+CD； （2）如图2，点E在线段AD上，且∠CED＝45°，∠BED＝30°，求证：BE＝2AE； （3）如图3，CD＝BD，过B点作BM⊥AD交AD的延长线于点M，连接CM，过C点作CN⊥CM交AD于N，求证：DN＝3DM． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题17 四边形中