专题12 相似三角形中的判定和性质-2020-2021学年九年级数学下册难点突破（人教版）

专题12 相似三角形中的判定和性质 【类型】一、黄金分割 黄金分割 如果点P把线段AB分成两条线段AP和BP，使AP>PB，且＝，那么称线段AB被P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫做黄金比． 黄金比为≈0.618. 【精典例题】1、定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D. (1)求证：点D是线段AC的黄金分割点； (2)求出线段AD的长． 【类型】二、平行线分线段成比例定理 1、如果＝(即ad＝bc)，则这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 2、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等． 3、相似三角形． 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形． 相似三角形对应边的比叫做相似比． 性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 4、平行线分线段成比例定理的推论 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比相等．基本图形如下图． 若DE∥BC，则有＝＝. 【精典例题】1、如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，CD＝80，那么EF的值为(　　) A．10 B．12 C．16 D．18 【精典例题】2、如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是线段AD上的一点，且AF∶FD＝1∶5，连结CF并延长交AB于E，则AE∶EB等于(　　) A．1∶10 B．1∶9 C．1∶8 D．1∶7 　　　 【类型】三、相似三角形的周长比与面积比 相似三角形具有以下基本性质： 1．对应角相等； 2．对应边成比例； 3．对应线段(高、中线、角平分线)之比等于相似比； 4．周长之比等于相似比； 5．面积之比等于相似比的平方． 【精典例题】1、如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连结DE并延长，交CB的延长线于点F. (1)求证：AD＝BF； (2)若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积． 【类型】四、相似三角形的判定与性质综合 相似三角形的判定 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似． 定理2：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似． 【精典例题】1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点F，且AF＝4，EF＝，则AC＝____． 【类型】五、利用平行线构造相似三角形 利用平行线构造相似三角形 1、证法一和证法二都是利用平行线构造相似比，利用相似三角形证明；证法三用面积法证明，不禁令人眼前一亮． 2、当问题中含有45°角时，作辅助线构造直角三角形是个好办法． 【精典例题】1、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，求证：BD∶CD＝AB∶AC. 【精典例题】2、如图，在△ABC中．AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连结EF交AD于点G. (1)求证：AD2＝AB·AE； (2)若AB＝3，AE＝2，求的值． 　　 【精典例题】3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE·CA. (1)求证：BC＝CD； (2)分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题12 相似三角形中的判定和性质 【类型】一、黄金分割 黄金分割 如果点P把线段AB分成两条线段AP和BP，使AP>PB，且＝，那么称线段AB被P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫做黄金比． 黄金比为≈0.618. 【精典例题】1、定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D. (1)求证：点D是线段AC的黄金分割点； (2)求出线段AD的长． 【思路生成】(1)判断△ABC∽△BDC，根据对应边成比例可得． (2)根据黄金比值即可求出AD的长度． 解：(1)∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°， ∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝36°，∠BDC＝72°， ∴AD＝BD＝BC，△ABC∽△BDC，∴＝，即＝， ∴AD2＝AC·CD，∴点D是线段AC的黄金分割点； (2)∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD＝