专题11 相似三角形中的基本几何模型-2020-2021学年九年级数学下册难点突破（人教版）

专题11 相似三角形中的基本几何模型 【专题说明】 相似三角形本章节内容在初中数学中是一个重点，也是历年中考必考的一个知识点。复习时我们首先要掌握本章节内容的重难点。 【类型】一、“8”字型及其变形 模型展示： (1)如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔＝＝. (2)如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔＝＝. 图1 　 　　图2[来源:Zxxk 【精典例题】1、如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，BD和CE相交于点F.如果DF＝2，那么线段BF的长度为__4__. 【精典例题】2、已知：如图，AD·AB＝AF·AC，求证：△DEB∽△FEC. 证明：∵AD·AB＝AF·AC，∴＝. ∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△AFB，∴∠C＝∠B. ∵∠DEB＝∠FEC， ∴△DEB∽△FEC. 【类型】二、“A”字型及其变形 模型展示： (1)如图1，DE∥BC⇔△ADE∽△ABC⇔＝＝. (2)如图2，∠AED＝∠B⇔△ADE∽△ACB⇔＝＝. (3)共边共角模型，如图3，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔＝＝. 图1　 　图2 　　图3 【精典例题】1、在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A.已知BC＝2，AB＝3，则BD＝____. 【精典例题】2、如图，已知BE，CD是△ABC的两条高，连接DE，求证：△ADE∽△ACB. 证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°. ∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACD.∴＝.∴＝. 又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB. 【精典例题】3、如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：＋＝. 证明：∵AB∥EF，∴△DEF∽△DAB，∴＝. 又∵EF∥CD， ∴△BEF∽△BCD.∴＝. ∴＋＝＋＝＝1.∴＋＝. 【类型】三、“手拉手”旋转型 模型展示： 如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com] 【精典例题】1、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求证： (1)△ABD∽△CBE； (2)△ABC∽△DBE. 证明：(1)∵∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠1＝∠2. 又∠3＝∠4，∴△ABD∽△CBE. (2)∵△ABD∽△CBE， ∴＝.∴＝. 又∠ABC＝∠DBE，∴△ABC∽△DBE. 【类型】四、“子母(双垂直)”型 模型展示： 如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 【精典例题】1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为(　A　) A. B. C. D．3 【精典例题】2、如图，AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，EF⊥AB.证明：△AEF∽△ABE. 证明：∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠DAB， ∠ABE＝∠ABC. ∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，[来源:学+科+网Z+X+X+K] ∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∴∠AEB＝90°. ∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°. 又∵∠BAE＝∠EAF，∴△AEF∽△ABE. 【类型】五、“三垂直”模型与“一线三等角”模型 模型展示： (1)“三垂直”模型 如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型 如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 【精典例题】1、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE. (1)求证：△ABE∽△ECD； (2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长． 解：(1)证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°， ∠BAE＋∠AEB＝90°. ∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°， ∴∠AEB＋∠DEC＝90°， ∴∠BAE＝∠DEC， ∴△ABE∽△ECD. (2)在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5， ∴BE＝3，∴EC＝BC－BE＝5－3＝2.∵△ABE∽△ECD，∴＝，∴＝，∴CD＝. 【精典例题】2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上． (1)求证：△BDE∽△CEF； (2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分