专题18 利用函数的极值求参数值-2021年新高考数学难点解题方法突破（新高考专用）

专题18 利用函数的极值求参数值 一、单选题 1．若函数的极值为，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 对分和两种情况讨论，分析函数的单调性，结合函数的极值为，可求得实数的值. 【详解】 由已知可得. 当时，对任意的，，此时函数在上单调递增，函数无极值； 当时，令，可得，此时函数单调递减； 令，可得，此时函数单调递增. 所以，函数的极小值为， 令，则且，. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以，，由于，. 故选：D. 【点睛】 本题考查利用函数的极值存在的条件求参数的值，考查计算能力，属于中等题. 2．已知，，若是函数的极小值点，则实数的取值范围为（ ） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】 由既是的极小值点，又是零点，且的最高次项系数为1，因此可设，这样可求得，然后求出，求得的两个零点，一个零点是，另一个零点必是极大值点，由可得的范围． 【详解】 因为，是函数的极小值点，结合三次函数的图象可设，又， 令得，，即， ，由得，， 是极小值点，则是极大值点，，所以． 故选：B． 【点睛】 本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由极小值点大于极大值点可得所求范围． 3．若，，且函数在处有极值，则的最大值等于（ ）. A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】C 【分析】 先对函数求导，根据题中条件，得到，再结合基本不等式，即可得出结果. 【详解】 因为，所以， 又函数在处有极值， 所以，即， 因为，， 所以，当且仅当时，等号成立. 故选：C. 4．若函数不存在极值点，则的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】 由已知条件得只有一个实数根或没有实数根，从而 由此能求出的取值范围. 【详解】 ， 在定义域内不存在极值， 只有一个实数根或没有实数根， ， 故选：D. 【点睛】 本題主要考查极值的概念，利用导数研究函数的极值，考查发推理论证能力，转化能力，属于中档题. 5．函数在处取得极值，则（ ） A．，且为极大值点 B．，且为极小值点 C．，且为极大值点 D．，且为极小值点 【答案】B 【分析】 先求导，再根据题意得，由此求得，再根据导数研究函数的极值． 【详解】 解：∵， ∴， 又在处取得极值， ∴，得， ∴， 由得，，即， ∴，即， 同理，由得，， ∴在处附近的左侧为负，右侧为正， ∴函数在处取得极小值， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与极值，属于基础题． 6．已知在处取得极值，则的最小值是（ ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】 求导，根据极值点得到，，展开利用均值不等式计算得到答案. 【详解】 ，故， 根据题意，即， 经检验在处取得极值. ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：. 【点睛】 本题考查了根据极值点求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 7．若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出，根据在内有极小值可得的图象性质，从而可求的取值范围. 【详解】 ， 由题意在区间上有零点， 且在该零点的左侧附近，有，右侧附近有. 则在区间上有零点， 且在该零点的左侧附近，有，右侧附近有. 当时，为开口向上的抛物线且，故，无解. 当，则，舍. 当，为开口向下的抛物线，其对称轴为， 故，解得. 故选：C. 【点睛】 本题考查函数的极值，注意根据极值的类型判断导数的函数图象性质，本题属于中档题. 8．已知函数的极大值为4，若函数在上的极小值不大于，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 对函数求导，令导函数为0，结合函数单调性可得极值，明确极大值和极小值的定义求解即可. 【详解】 ∵， 当时，，无极值； 当时，, 的递增区间是, 递减区间是，在处取得极大值， 则有，解得， 于是，. 当时，，在上不存在极小值. 当时，在单调递减， 在单调递增，所以在处取得极小值， 依题意有， 即解得. 故选：A. 【点睛】 本小题主要考查的数学知识是：函数与导数，导数与单调性、极值的关系，考查分类讨论的数学思想方法. 9．已知函数在处取极大值，则（ ） A．－2或－6 B．2或6 C．6 D．2 【答案】C 【分析】 由题意可知，从而可求得的值，然后再验证在x＝2处是否取得极大值即可 【详解】 解：由，得， 因为函数在处取极大值， 所以，即，解得或， 当时，， 令，得或，令，得， 所以在处取得极大值，在处取得极小值，所以不合题意， 当时，， 令，得或，令，得， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 所以， 故