【新教材】6.4.3.3　正弦定理(二) 学案--吉林省长春市第八中学高中数学人教A版（2019版）必修第二册

 

6.4.3.3　正弦定理(二)

【新知初探】

要点一　正弦定理及其变形

1.定理内容：＝＝＝2R.

2.正弦定理的常见变形：

(1)sin A∶sin B∶sin C＝           ；

(2)＝＝＝＝       ；

(3)a＝           ，b＝               ，c＝             ；

(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝.

要点二　对三角形解的个数的判断

已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a、b和A解三角形为例，从两个角度予以说明：

(1)代数角度

由正弦定理得sin B＝，

①若>1，则满足条件的三角形个数为     ，即      .

②若＝1，则满足条件的三角形个数为         ，即          .

③若<1，则满足条件的三角形个数为           .

(2)几何角度

 

要点三　三角形面积公式

任意三角形的面积公式为：

(1)S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.

(2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长.

(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长.

(4)S△ABC＝(其中p＝).

【题型通关】

题型一　三角形解的个数的判断

例1已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答.

(1)a＝10，b＝20，A＝80°；

(2)a＝2，b＝6，A＝30°.

 

 

 

跟踪训练1　(1)满足a＝4，b＝3，A＝45°的三角形ABC的个数为________.

(2)△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若该三角形有两解，则x的取值范围是________.

题型二　三角形的面积

例2　在△ABC中，若a＝2，C＝，cos ＝，求△ABC的面积S.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

跟踪训练2　(1)在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.

(2)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于________.

题型三　正弦定理与三角变换的综合应用

例3　在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，若c＝＋，C＝30°，求a＋b的取值范围.