【新教材】6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 学案--吉林省长春市第八中学高中数学人教A版（2019版）必修第二册

 

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示

【新知初探】

要点一　平面向量数量积的坐标表示

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝                       .

即两个向量的数量积等于                  ．

思考　已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b？上述结论是怎样推导的？

 

 

 

 

要点二　平面向量的模

(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝.

(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.

思考　设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面内任意两点，试推导平面内两点间的距离公式．

 

 

 

 

 

要点三　平面向量夹角的坐标表示

设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cos θ＝＝.

特别地，若a⊥b，则有                  ；

反之，若                    ，则a⊥b.

思考　(1)已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，x)，a⊥b则x＝________.

(2)若a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则a与b的夹角为________．

(3)已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是________三角形．

【题型通关】

题型一　平面向量数量积的坐标运算

例1　已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.

(1)求a的坐标；

(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.

 

 

 

 

 

 

 

跟踪训练1　已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，试求b的坐标．

 

 

 

 

 

 

题型二　平面向量的夹角问题

例2　已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．

 

 

 

 

 

 

 

跟踪训练2　已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．

 

 

 

题型三　平面向量数量积坐标形式的综合运用

例3　已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．

 

 

 

 

 

 

 

 

跟踪训练3　在平面直角坐标系内，已知三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求：

(1)，的坐标；

(2)|－|的值；

(3)cos∠BAC的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

例4　已知a＝(1,3)，b＝(2，λ)，设a与b的夹角为θ，要使θ为锐角，求λ的取值范围．