北京市昌平区新学道临川学校2020-2021学年高二12月月考数学（理）试题（可编辑PDF版）

第 1 页 共 3 页 临川学校 2020-2021 学年度第一学期第三次月考 高二理科数学参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D A B B A C B C B B D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.8 14. 2 5 5 15．x2＝y 16.1 2 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 题 10 分， 第 18~21 题每题 12 分. 17．写出下列直线的方程． (1)经过点 A(2,5)，且与直线 y＝2x＋7 平行； (2)经过点 C(－1，－1)，且与 x 轴平行． 解 (1)由题意知，直线的斜率为 2， 所以其点斜式方程为 y－5＝2(x－2)． (2)由题意知，直线的斜率 k＝tan 0°＝0， 所以直线的点斜式方程为 y－(－1)＝0，即 y＝－1． 18.已知数列{an}是等比数列，a1＝1，a4＝8，{bn}是等差数列，b1＝3，b4＝12. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设 cn＝an＋bn，求数列{cn}的前 n 项和 Sn. [解析](1)设数列{an}的公比为 q，由 a4＝a1q3 得 8＝1×q3，所以 q＝2，所以 an＝2n－1. 设{bn}的公差为 d，由 b4＝b1＋3d 得 12＝3＋3d，所以 d＝3，所以 bn＝3n. (2)因为数列{an}的前 n 项和为 a11－qn 1－q ＝ 1×1－2n 1－2 ＝2n－1， 数列{bn}的前 n 项和为 b1n＋ nn－1 2 d＝3n＋ nn－1 2 ×3＝3 2 n2＋3 2 n， 所以 Sn＝2n－1＋ 3 2 n2＋3 2 n. 第 2 页 共 3 页 19.在锐角三角形 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asin B� 3�� (1)求角 A 的大小; (2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. 解(1)由 2asin B� 3� 及正弦定理 � sin� � � sin� , 得 sin A� 3 2 �因为 A 是锐角,所以 A� π 3 � (2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+c2-bc=36. 又 b+c=8,所以 bc� 28 3 �由三角形面积公式 S� 1 2 �tsin A,得△ABC 的面积为 7 3 3 � 20. (1)已知直线 l 经过抛物线 y2＝6x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A、B 两点．若 直线 l 的倾斜角为 60°，求|AB|的值； （2）抛物线 y2＝12x 截直线 y＝2x＋1 所得弦长等于？ 解 (1)因为直线 l 的倾斜角为 60°， 所以其斜率 k＝tan 60°＝ 3.又 F 3 2 ，0 ，所以直线 l 的方程为 y＝ 3 x－3 2 . 联立 y2＝6x， y＝ 3 x－3 2 ， 消去 y 得 x2－5x＋9 4 ＝0. 若设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．则 x1＋x2＝5， 而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋ p 2 ＋x2＋ p 2 ＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8. （2） 令直线与抛物线交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由 y＝2x＋1， y2＝12x， 得 4x2－8x＋1＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝ 1 4 ， ∴|AB|＝ 1＋22x1－x22＝ 5[x1＋x22－4x1x2]＝ 15. 21．点 M(x，y)与定点 F(2,0)的距离和它到定直线 x＝8 的距离的比是 1∶2，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形. 解 设 d 是点 M 到直线 x＝8 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合 P＝ M| |MF| d ＝ 1 2 ， 由此得 x－22＋y2 |8－x| ＝ 1 2 . 第 3 页 共 3 页 将上式两边平方，并化简，得 3x2＋4y2＝48， 即点 M 的轨迹方程为：x 2 16 ＋ y2 12 ＝1. 22．已知椭圆C ： 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     的离心率为 3 2 ， )0,( aA  ， )0,(aB ， ),0( bE ， (0,0)O ， OBE 的面积为 1． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）点 D为 x轴上一点，过 D作 x轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过 D作 AM 的垂线交 BN 于点 E ．求证： BDE 与 BDN 的面积之比为 4：5． 【解析】（Ⅰ）由题意得