1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题(课件PPT)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版)

空间向量与立体几何 第一章 第2课时　用空间向量研究夹角问题 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 1.4　空间向量的应用 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学　选择性必修　第一册　A 课程内容标准 学科素养凝练 1．掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角的定义． 2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角． 3．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题． 4．能描述用向量方法解决夹角问题的程序，体会向量方法在研究几何夹角问题中的作用. 通过向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 栏目索引 课前预习案 课堂探究案 冲关演练案 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学　选择性必修　第一册　A 异面直线所成的角的向量表示式：若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝_________________＝_____. 一、异面直线所成的角 |cos 〈u，v〉|　 课前预习案 eq \f(|u·v|,|u||v|)　 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学　选择性必修　第一册　A 直线与平面所成的角的向量表示式：直线与平面相交，设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则sin θ＝_________________＝_____，如图． 二、直线与平面所成的角 |cos 〈u，n〉|　 eq \f(|u·n|,|u||n|)　 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学　选择性必修　第一册　A 1．平面与平面的夹角的定义：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中_____________的二面角称为平面α与平面β的夹角． 2．平面与平面的夹角的向量表示式：设平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的_______或_________.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝__________________＝________，如图． 三、平面与平面的夹角 不大于90°　 夹角　 其补角　 |cos〈n1，n2〉|　 eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)　 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学　选择性必修　第一册　A 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　　) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　　) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(　　) (4)两异面直线夹角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，直线与平面所成角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，二面角的范围是[0，π]．(　　) 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学　选择性必修　第一册　A 答案　D　 2．(教材P38练习1改编)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是(　　) A．eq \f(\r(6),5) 　　 B．eq \f(\r(6),4)　　 C．eq \f(\r(6),3)　　 D．eq \f(\r(6),6) 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学　选择性必修　第一册　A 解析　以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，可知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，A(1,0,0)，C(0,0,0)，则eq \o(A1B,\s\up18(→))＝(－1,1，－2)，eq \o(AC,\s\up18(→))＝(－1,0,0)，∴cos〈eq \o(A1B,\s\up18(→))，eq \o(AC,\s\up18(→))〉＝eq \f(\o(AC,\s\up18(→))·\o(A1B,\s\up18(→)),|\o(AC,\s\up18(→))|·|\o(A1B,\s\up18(→))|)＝eq \f(1,\r(1＋1＋4))＝eq \f(\r(6),6)，即A1B与AC所成角的余弦值是eq \f(\r(6),6). 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学　选择性必修　第一册　A 3．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－eq \f(\r(3),2)，则l与α所成的角为(　　) A．30°　　 B．60°　　 C