第18期 抛物线-【数理报】2020-2021学年高中数学选修1-1(人教A版)

书书书 －ｘ＋２，所以Ｓ△ ＝ １ ２ ×３ ２ ×１＝ ３ ４ ． 三、解答题 ７．解：（１）由题知ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋４ｘ－ａ，所以ｆ′（１）＝３＋４ －ａ＝４，所以ａ＝３． （２）ｇ（ｘ）＝ｆ′（ｘ）在区间（－１，１）上存在零点，等价于３ｘ２＋ ４ｘ＝ａ在区间（－１，１）上有解，也等价于直线ｙ＝ａ与曲线ｙ＝ ３ｘ２＋４ｘ，ｘ∈（－１，１）有公共点，当ｘ∈（－１，１）时，ａ＝３ｘ２＋４ｘ ＝３ ｘ＋( )２３ ２ －４ ３ ∈ －４ ３ ，[ )７，所以实数 ａ的取值范围是 －４ ３ ，[ )７． ８．解：因为ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎｘ ２ ｃｏｓｘ ２ ＋２ｃｏｓ２ ｘ ２ －１ ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ， 所以ｆ′（ｘ）＝ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ． 所以ｆ（ａ）＋ｆ′（ａ）＝（ｓｉｎａ＋ｃｏｓａ）＋（ｃｏｓａ－ｓｉｎａ） ＝２ｃｏｓａ． 由ｆ（ａ）＋ｆ′（ａ）＝０，得２ｃｏｓａ＝０， 所以ａ＝ｋπ＋π ２ （ｋ∈Ｚ）． 即使 ｆ（ａ） ＋ｆ′（ａ） ＝ ０成 立 的 实 数 ａ的 集 合 为 ａ ａ＝ｋπ＋π ２ ，ｋ∈ }{ Ｚ． ９．解：ｆ（２ｘ＋１）＝（２ｘ＋１）２＋ａ（２ｘ＋１）＋ｂ ＝４ｘ２＋（２ａ＋４）ｘ＋ａ＋ｂ＋１， ４ｇ（ｘ）＝４ｘ２＋４ｃｘ＋４ｄ， 由ｆ（２ｘ＋１）＝４ｇ（ｘ），得 ２ａ＋４＝４ｃ， ａ＋ｂ＋１＝４{ ｄ． ① ｆ′（ｘ）＝２ｘ＋ａ，ｇ′（ｘ）＝２ｘ＋ｃ， 由ｆ′（ｘ）＝ｇ′（ｘ），得ａ＝ｃ． ② 又ｆ（５）＝５２＋５ａ＋ｂ＝３０，得５ａ＋ｂ＝５． ③ 由①②③，得ａ＝ｃ＝２，ｂ＝－５，ｄ＝－ １ ２ ． 所以ｇ（ｘ）＝ｘ２＋２ｘ－１ ２ ， 所以ｇ（４）＝４２＋２×４－１ ２ ＝４７ ２ ． 第２２期跟踪训练参考答案 函数的单调性与导数 １．Ｃ　２．Ｃ　３．Ｃ　４．［－２，＋∞）．　５．（－１，＋∞）． ６．解：因为 Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ ａ ｘ （ｘ＞０），则 Ｆ′（ｘ）＝ １ ｘ － ａ ｘ２ ＝ｘ－ａ ｘ２ （ｘ＞０）． 因为ｘ＞０，由Ｆ′（ｘ）＞０，得ｘ＞ａ， 所以Ｆ（ｘ）在（ａ，＋∞）上单调递增． 由Ｆ′（ｘ）＜０，得０＜ｘ＜ａ， 所以Ｆ（ｘ）在（０，ａ）上单调递减． 所以Ｆ（ｘ）的单调递增区间为（ａ，＋∞），单调递减区间为 （０，ａ）． 函数的极值、最值与导数 １．Ｂ　２．Ｂ　３．Ｃ　４．－１ ２ｅ ．　５．１３，４． ６．解：（１）由ｆ′（－１）＝ｆ′（１）＝０， 得３ａ＋２ｂ＋ｃ＝０，３ａ－２ｂ＋ｃ＝０． 因为ｆ（１）＝－１，所以ａ＋ｂ＋ｃ＝－１． 所以ａ＝ １ ２ ，ｂ＝０，ｃ＝－３ ２ ． （２）由（１）可得ｆ（ｘ）＝ １ ２ ｘ３－３ ２ ｘ， 所以ｆ′（ｘ）＝ ３ ２ ｘ２－３ ２ ＝ ３ ２ （ｘ－１）（ｘ＋１）． 当ｘ＜－１或ｘ＞１时，ｆ′（ｘ）＞０； 当 －１＜ｘ＜１时，ｆ′（ｘ）＜０． 所以函数ｆ（ｘ）在（－∞，－１）和（１，＋∞）上是增函数，在 （－１，１）上为减函数． 故当ｘ＝－１时，ｆ（ｘ）取得极大值ｆ（－１）＝１；当ｘ＝１时， ｆ（ｘ）取得极小值ｆ（１）＝－１． 生活中的优化问题举例 １．Ａ　２．Ｃ　３．Ｂ　４．４槡Ｓ．　５． ３ ２ Ｒ． ６．解：设ＡＮ＝ｘｍ． 因为 ＤＮ ＡＮ ＝ＤＣ ＡＭ ，所以ＡＭ＝ ３ｘ ｘ－２ ． 所以矩形ＡＭＰＮ的面积Ｓ＝ＡＮ·ＡＭ ＝ ３ｘ ２ ｘ－２ ． Ｓ′＝６ｘ（ｘ－２）－３ｘ ２ （ｘ－２）２ ＝３ｘ（ｘ－４） （ｘ－２）２ ， 当ｘ∈［３，４］时，Ｓ′≤０， 所以函数Ｓ＝ ３ｘ ２ ｘ－２ 在［３，４］上为减函数． 所以，当ｘ＝３时，Ｓ取得最大值为２７ｍ２，此时ＡＮ＝３ｍ，ＡＭ ＝９ｍ． 故当ＡＭ＝９ｍ，ＡＮ＝３ｍ时，矩形花坛ＡＭＰＮ的面积最大， 最大面积为２７ｍ２． 第２２期导数的应用同步测试题 一、选择题 １～６　ＤＡＡ　ＣＡＢ 提示： １．函数的定义域为ｘ＞０，由ｙ′＝１ ｘ －１＝１－ｘ ｘ ＜０得ｘ＞１． ２．由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况从左到右 依次是正→负→正→负，只有选项（Ａ）满足． ３．ｙ′＝３ｘ２＋２ａｘ＋３，因为函数在ｘ＝－３处取得极值，故２７ －６ａ＋３＝０，解得ａ＝５． ４．由ｙ′＝２ｘ得ｋ１ ＝ｙ′｜ｘ＝ｘ０ ＝２ｘ０． 由ｙ′＝ １ ２ ｘ２得ｋ２ ＝ｙ′｜ｘ＝ｘ０ ＝ １ ２ ｘ２０． 依题意ｋ１ｋ２ ＝－１，即ｘ ３ ０ ＝－１，解得ｘ０ ＝－１． ５．由题知ｙ′＝１－ｌｎｘ ｘ２ ．令ｙ′＝０，解得ｘ＝ｅ． 当ｘ＞ｅ时，ｙ′＜０；当０＜ｘ＜ｅ时，ｙ′＞０． 所以ｙ极大值 ＝ｆ（ｅ）＝ １ ｅ ． 因为在其定义域内只有一个极值，所以极值即为最大值，所 以ｙｍａｘ ＝ １ ｅ ． ６．设切点Ｍ的横坐标为ｘ０，则ｙ′＝２ｘ０＋槡３＝ｔａｎα（α为点 Ｍ处