【新教材】6.3.1 平面向量基本定理 学案-吉林省长春市第八中学高中数学人教A版（2019版）必修第二册

 

6.3.1　平面向量基本定理

【新知初探】

要点一　平面向量基本定理

(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个         向量，那么对于这一平面内的       向量a，               实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)基底：把           的向量e1，e2叫做表示这一平面内            向量的一组基底．

思考 如图所示，e1,e2是两个不共线的向量，试用e1,e2表示向量，，，，，a.

 

 

要点二　两向量的夹角与垂直

(1)夹角：已知两个         a和b，如图，作＝a，＝b，

则      ＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a与b的夹角．

①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]．

②当θ＝0°时，a与b       ．

③当θ＝180°时，a与b        ．

(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.

思考　在等边三角形ABC中，试写出下面向量的夹角．

①、；②、；③、；④、.

 

 

 

【题型通关】

题型一　对向量的基底认识

例1　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．

①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；

②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；

③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；

④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.

跟踪训练1　设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)

题型二　用基底表示向量

例2　如图所示，已知▱ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a、b为基底表示、.

 

 

 

 

 

跟踪训练2　如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a、b表示、、.

 

 

 

 

 

题型三　向量夹角问题

例3　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β，求α＋β.

 

 

 

 

 

 

 

跟踪训练3　若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．

 

 

 

 

题型四　平面向量基本定理的应用

例4　如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求.

 

 

 

 

 

 

 

 

跟踪训练4　如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于E，设＝a，＝b，试用基底a，b表示向量.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例5　已知＝2a，＝2b，＝－a＋3b，求向量与的夹角．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【课堂达标】

1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　)