【新教材】6.2.4 向量的数量积 学案-吉林省长春市第八中学高中数学人教A版（2019版）必修第二册

长春市第八中学 6.2.4　向量的数量积 【新知初探】 要点一　平面向量数量积的定义 (1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为 . 要点二　向量数量积的几何意义 1．投影的概念 如图所示：eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos θ. |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影． 2．数量积的几何意义： a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积． 思考　|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角θ＝120°，则a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影为________． 要点三　平面向量数量积的性质 根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质． 设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角． (1)当〈a，b〉＝0时，a·b＝|a||b|；当〈a，b〉＝π时，a·b＝－|a||b|； 当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a·b＝ ； (2)a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a2)； (3)cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)； (4)|a·b| |a||b|. (5)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； (6)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2； (7)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 要点四　向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 思考　某同学由实数乘法的三条性质： ①ab＝0⇒a＝0或b＝0；②ab＝bc，b≠0⇒a＝c；③(ab)c＝a(bc)； 类比得到向量数量积的三条结论： ①a·b＝0⇒a＝0或b＝0；②a·b＝b·c，b≠0⇒a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)， 这三条结论成立吗？请简要说明． 【题型通关】 题型一　求两向量的