【新教材】6.2.4 向量的数量积 学案-吉林省长春市第八中学高中数学人教A版（2019版）必修第二册

 

6.2.4　向量的数量积

【新知初探】

要点一　平面向量数量积的定义

 (1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．

(2)规定：零向量与任一向量的数量积为   .

要点二　向量数量积的几何意义

1．投影的概念

如图所示：＝a，＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos θ.

|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影．

2．数量积的几何意义：

a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积．

思考　|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角θ＝120°，则a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影为________．

要点三　平面向量数量积的性质

根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．

设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．

(1)当〈a，b〉＝0时，a·b＝|a||b|；当〈a，b〉＝π时，a·b＝－|a||b|；

当〈a，b〉＝时，a·b＝    ；

(2)a·a＝|a|2或|a|＝＝；

(3)cos θ＝；

(4)|a·b|    |a||b|.

(5)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；

(6)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；

(7)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.

要点四　向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

思考　某同学由实数乘法的三条性质：

①ab＝0⇒a＝0或b＝0；②ab＝bc，b≠0⇒a＝c；③(ab)c＝a(bc)；

类比得到向量数量积的三条结论：

①a·b＝0⇒a＝0或b＝0；②a·b＝b·c，b≠0⇒a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)，

这三条结论成立吗？请简要说明．

 

 

 

 

 

【题型通关】

题型一　求两向量的数量积

例1　已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

跟踪训练1　已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

题型二　求向量的模

例2　已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.

 

 

 

 

 

跟踪训练2　已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：

(1)|a＋b|；

(2)|(a＋b)·(a－2b)|.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

题型三　求向量的夹角

例3　设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

跟踪训练3　已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？