【新教材】6.2.3 向量的数乘 学案-吉林省长春市第八中学高中数学人教A版（2019版）必修第二册

 

6.2.3　向量的数乘

 

【新知初探】

要点一　向量数乘运算和运算律

1．向量数乘运算

实数λ与向量a的积是一个       ，这种运算叫做向量的         ，记作λa，其长度与方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|.

(2)λa (a≠0)的方向Error!

特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.

2．向量数乘的运算律

(1)λ(μa)＝(λμ)a.

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.

特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；

λ(a－b)＝λa－λb.

思考　你能理解λa的几何意义吗？

 

 

要点二　共线向量定理

1．共线向量定理

向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

2．向量的线性运算

向量的      、      、     运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.

思考　若向量a与b共线，一定有a＝λb吗？

 

 

 

【题型通关】

题型一　向量的线性运算

例1　计算：

(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；

(2)－；

(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

跟踪训练1　若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为(　　)

A．－a       B．－4b           C．c         D．a－b

题型二　向量共线的判定及应用

例2　已知非零向量e1，e2不共线．

(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；

(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

跟踪训练2　如图，已知任意两个非零向量a，b，作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.试判断A、B、C三点之间的位置关系，并说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

题型三　向量数乘运算的综合应用

例3　如图所示，已知▱ABCD的边BC、CD上的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

跟踪训练3　已知任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．求证：＝(＋)．

 

 

 

 

 

 

 

 

例4　如图所示，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设＝a，＝b，用a，b表示向量，，，，，.