【新教材】6.2.2 向量的减法运算 学案-吉林省长春市第八中学高中数学人教A版（2019版）必修第二册

 

6.2.2　向量的减法运算

 

【新知初探】

要点一　相反向量         

与a                 ，                 的向量，叫做a的相反向量，记作－a.

(1)规定：零向量的相反向量                    ；

(2)－(－a)＝a；

(3)a＋(－a)＝0.

(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.

思考　若a＋b＝c＋d，则a－c＝d－b成立吗？

 

 

要点二　向量的减法

(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于                             ．

(2)法则：向量的减法运算也有平行四边行法则和三角形法则，这也正是向量运算的几何意义．作差向量时，一定要注意差向量的箭头指向被减向量．

思考　如图，已知a，b，请你用平行四边形法则和三角形法则分别作出向量a，b的差向量a－b.

 

 

要点三　向量的模与向量加、减运算间的关系

根据向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则可以解释|a|、|b|与|a＋b|、|a－b|之间的关系，请你把下列结论补充完整：

对于任意的两个非零向量a、b，都有：

(1)当且仅当a、b                  时，|a＋b|＝|a|＋|b|，|a－b|＝||a|－|b||.

(2)当且仅当a、b                   时，|a＋b|＝||a|－|b||，

|a－b|＝|a|＋|b|.

(3)当a与b不共线时，向量a、b、a＋b或a、b、a－b分别能围成三角形．由三角形中任意两边之和(差)大于(小于)第三边知：||a|－|b||<|a±b|<|a|＋|b|.

所以，对任意两个非零向量a、b总有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.可以检验a或b为零向量时，上式中的等号成立．经常利用该不等式判断向量模的范围．

思考　若|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|的取值范围是________；|a－b|的取值范围是________．

【题型通关】

题型一　向量的减法

例1　如图所示，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d.

 

 

 

 

 

 

 

跟踪训练1　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.

 

 

 

 

 

 

 

题型二　向量减法法则的运用

例2　化简下列式子：

(1)－－－；

(2)(－)－(－)．

 

 

 

 

 

 

跟踪训练2　化简：(1)(－)－(－)；

(2)(＋＋)－(－－)．

 

 

 

 

 

 

 

题型三　向量减法的应用

例3　如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝e，＝d，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示，，－，

＋，－，＋＋.

 

 

 

 

 

 

 

跟踪训练3　如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.

 

 

 

 

 

 

例4　如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.