第三章 圆锥曲线的方程（满分练）-2020-2021学年上学期高二数学期末复习制胜宝典（人教A版2019选择性必修第一册）

第三章圆锥曲线的方程（满分练） -2020-2021学年上学期高二数学期末复习制胜宝典（人教A版2019选择性必修第一册） 1．已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与椭圆交于两点，代入椭圆的方程，结合“平方差”法，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【解答】设直线与椭圆交于两点， 由，可得． 又，所以，解得． 因此直线的方程为，即。 故选：A． 本题主要考查了直线与椭圆的位置的应用，以及中点弦问题的求解，其中解答中熟记中点弦的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，所以基础题. 2．设，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据双曲线的几何意义与题中所给的条件进行化简求解,从而得到,进而求得离心率即可. 【解答】因为是双曲线上一点,所以, 又,所以, 所以. 又因为,所以有,即,即解得：（舍去）,或,所以,所以, 故选：B. 【点评】本题主要考查了根据双曲线的定义求解基本量之间的关系,进而求得离心率的方法,重点在于根据题中所给的条件列出等式进行化简,属于中等题型. 3．已知椭圆，则以点（1，1）为中点的弦的长度为（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】设直线方程为y=k（x﹣1）+1， 代入椭圆方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣（4k2﹣4k）x+2k2﹣4k﹣2=0， 设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2=2，解得k=﹣ ， ∴x1x2= ， ∴|AB|= ． 故选C． 【点评】弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程. 4．已知双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得双曲线的渐近线，然后利用圆心到渐近线的距离小于圆的半径列不等式，由此求得双曲线离心率的取值范围. 【解答】双曲线的渐近线方程为，圆的方程可化为.若渐近线与圆有公共点，则，即，，，，离心率，，.又，. 故选：A. 【点评】本小题主要考查双曲线的渐近线和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，属于中档题. 5．已知椭圆和圆，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为.若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得,利用圆的性质，得四边形是正方形，得.由可得椭圆的离心率的取值范围. 【解答】由，可得,且是圆的切线，利用圆的性质，则四边形是正方形，所以可得. ∴，∴.∴. 又∵，∴. 故选:C. 【点评】本题考查椭圆离心率取值范围，涉及圆的切线，向量数量积，属于基础题. 6．已知，是椭圆的左，右焦点，过的直线与椭圆交于P，Q两点，若，且，则与的面积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，求出、，利用抛物线定义及求出、，由三角形面积公式表示出与的面积之比并化简即可得解. 【解答】由题意知，，设，则，， ， ，， ， . 故选：D 【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆焦点三角形面积的求解，属于中档题. 7．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交于，两点，交轴于点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，且满足，则的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件建立关于的齐次不等式，即可求出离心率范围. 【解答】设为坐标原点，直线AB倾斜角为，, ，， 过点作的一条渐近线的垂线，垂足为， 由双曲线的性质，可知， ，，两边平方得， ，即， ，即. 故选：A. 【点评】本题考查双曲线离心率范围的求解，属于中档题. 8．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点是双曲线上第二象限内一点，且直线与双曲线的一条渐近线平行，的周长为，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出和的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可. 【解答】由题意知，， 解得，， 直线与平行，则，得， ， 化简得，即，解得. 故选：A 【点评】本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力. 9．双曲线的焦点坐标是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标. 【解答】因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为， 因为，所以