第二章 直线和圆的方程（满分练）-2020-2021学年上学期高二数学期末复习制胜宝典（人教A版2019选择性必修第一册）

第二章直线和圆的方程（满分练） -2020-2021学年上学期高二数学期末复习制胜宝典（人教A版2019选择性必修第一册） 1．直线l：（）与圆C：交于两点P､Q，则弦长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过直线转化为直线系，求出直线恒过的定点，说明直线被圆截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线垂直，由勾股定理即可得到最短弦长． 【解答】解：由直线得：，令解得故恒过定点． 因为， 则点在圆的内部，直线与圆相交． 圆心，半径为，， 当截得的弦长最小时，，最短的弦长是． 因为直线l：的斜率存在，故不能取到最小值， 再由经过圆心时弦长最长为，则． 故选：． 【点评】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于中档题． 2．过点与点(7,0)的直线l1，过点(2,1)与点(3，k＋1)的直线l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为(　　) A．－3 B．3 C．－6 D．6 【答案】B 【分析】根据四点共圆的条件可知，四边形的2个对角之和是180°，即l1与l2是相互垂直的，利用两条直线斜率的乘积为-1，即可得到结论． 【解答】 .由已知得l1⊥l2，∴×k＝－1，∴k＝3． 【点评】本题主要考查直线垂直与直线斜率之间的关系，利用四点共圆得到直线垂直是解决本题的关键． 3．若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为（ ） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】由题意结合直线与圆的位置关系可得直线经过圆心即，再由基本不等式即可得解. 【解答】由题得圆的方程可以化为，所以圆心为，半径为， 因为直线被圆截得的弦长为， 所以直线经过圆心，所以，即， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 【点评】本题考查了直线与圆位置关系、基本不等式求最值的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题. 4．已知圆的圆心为原点，且与直线相切.点在直线上，过点引圆的两条切线，，切点分别为，，如图所示，则直线恒过定点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的圆心为原点且与直线相切即得圆的方程，又，是它的切线，可知，一定在以为直径为圆心的圆上，即为两圆的公共弦，即可求出直线的方程，进而找到定点 【解答】依题意知，圆的半径且圆心为 ∴圆的方程为 ∵，是圆的两条切线 ∴，，即，在以为直径的圆上 若设点的坐标为，，则线段的中点坐标为 ∴以为直径的圆的方程为，，化简得， ∵为两圆的公共弦 ∴直线的方程为，，即 ∴直线恒过定点 故选：A 【点评】本题考查了圆的切点弦过定点问题，首先根据已知条件求出两圆方程，由两圆过相同的两点，即有公共直线求出切点弦的直线方程，进而确定定点 5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知的顶点，则的欧拉线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出的欧拉线即为线段的垂直平分线，然后求出线段的垂直平分线的方程即可. 【解答】因为，所以线段的中点的坐标，线段所在直线的斜率，则线段的垂直平分线的方程为，即，因为，所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上，所以的欧拉线方程为. 故选：D 【点评】本题主要考走查直线的方程，解题的关键是准确找出欧拉线，属于中档题. 6．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线轴，建立直角坐标系，得出点、的坐标，设点，利用两点间的距离公式结合条件得出点的轨迹方程，然后利用坐标法计算出的表达式，再利用数形结合思想可求出的最小值. 【解答】以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线轴，建立直角坐标系， 则、，设，，， 两边平方并整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 则有，如下图所示： 当点为圆与轴的交点（靠近原点）时，此时，取最小值，且， 因此，，故选A. 【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题. 7．若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用垂径定理，结合点到线的距离公式求解. 【解答】由圆可知，圆心，半径为：， 若直线被圆所截得的弦长为， 则由垂径定理可知圆心到直线的距离：， 故，解得或. 故选：A. 【点评】本