第一章 空间向量与立体几何（满分练）-2020-2021学年上学期高二数学期末复习制胜宝典（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章空间向量与立体几何（满分练） -2020-2021学年上学期高二数学期末复习制胜宝典（人教A版2019选择性必修第一册） 1．在所有棱长都相等的直三棱柱中，、分别为棱、的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正三棱柱的所有边长均为，取的中点，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出直线与平面所成角的正弦值，进而可得出该角的余弦值. 【解答】设正三棱柱的所有边长均为，取的中点，连接， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 如下图所示： 则点、、、、， ，，， 设平面的法向量为， 由，得，取，则，，， 设直线与平面所成角为， 则，则. 故选：C. 【点评】本题以直三棱柱为材料考查了直线与平面所成的角，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和计算能力，属中等题． 2．如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点为的中点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据法向量的求法，求得平面和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【解答】设，则， 因为为的中点，所以，所以， 设是平面的一个法向量， 则，即，取，则， 所以平面的一个法向量为， 又因为平面，所以是平面的一个法向量， 所以， 又因为二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 故选：C. 【点评】本题主要考查了利用空间向量求解二面角的大小，其中解答中正确求解相应平面的法向量，结合向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 3．如图所示，，是直角梯形两腰的中点，于点，现将△沿折起，使二面角为，此时点在平面内的射影恰为点，则，的连线与所成的角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意，建立空间直角坐标系，设出边长，求得点的坐标，进而求得向量的坐标，利用向量数量积等于零，得到两向量的夹角为，进而得到异面直线所成角的大小. 【解答】建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意知为等腰直角三角形. 设，则，，. 设，则，，，，， 所以，， 所以.故， 从而与所成的角为. 故选：B. 【点评】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用空间向量求异面直线所成角，属于简单题目. 4．在如图所示的坐标系中,为正方体,给出下列结论: ①直线 的一个方向向量为(0,0,1); ②直线的一个方向向量为(0,1,1); ③平面的一个法向量为(0,1,0); ④平面的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用空间向量说明结论的正确与否.. 【解答】 DD1∥AA1,=(0,0,1)，故①正确； BC1∥AD1,=(0,1,1), 故②正确； 直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0). 故③正确； 点C1的坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,故④错. 【点评】本题考查利用空间向量证明结论的正确与否，属基础题. 5．如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用即可求解. 【解答】底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形， 则，所以 设， 由为线段的中点， 则， 由， 所以， 以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，设， ，，，， 设平面的一个法向量， 则，即， 令，则，， 所以. 设平面的一个法向量， 则，即， 解得，令，则， 所以， 平面与平面所成锐二面角的平面角为， 则， 将分子、分母同除以，可得 令， 当时，， 则的最大值为：. 故选：D 【点评】本题考查了空间向量法求二面角、考查了基本运算求解能力，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题. 6．如图所示，在四面体中，平面，，那么二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题首先可作于点以及作于点，然后通过求出，最后根据以及二面角为锐二面角即可得出结果. 【解答】如图所示，作于点，作于点， 设，则易得，，， 可以求得，. 因为， 所以， 则，， 因为二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为， 故答案为：C. 【点评】本题考查二面角的余弦值的求法，考查向量的数量积公式的灵活应用，考查向量加法法则的几何应用，考查数形结合思想，考查推理能力与计算能力，是中档题. 7．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线