第一章 空间向量与立体几何（基础练）-2020-2021学年上学期高二数学期末复习制胜宝典（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章空间向量与立体几何（基础练） -2020-2021学年上学期高二数学期末复习制胜宝典（人教A版2019选择性必修第一册） 1．若是三个非零向量；为空间的一个基底，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要条件的概念，判断出正确选项. 【解答】空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，若是三个共面的非零向量，则不能作为空间的一个基底；但若为空间的一个基底，则不共面，所以是三个非零向量，所以p是q的必要不充分条件. 故选：B 【点评】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题. 2．在正方体中，M为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线的方向向量所夹角的余弦值即可. 【解答】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， ∴，∴， ∵M为的中点，∴． ∴，∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为． 故选：A. 【点评】本题主要考查了异面直线所成角的余弦值的向量求法，属于基础题. 3．如图所示，已知四面体每条棱长都等于，点，，分别是，，的中点，则下列向量的数量积等于的是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意先判断相应向量的夹角，然后利用向量的数量积的定义化简各个式子即可判断 【解答】由条件可知，A不符合题意； ，B不符合题意； ，D不符合题意． 故选C． 【点评】本题考查棱锥的结构特征，两个向量的数量积的定义，体现了数形结合的数学思想，解题的关键是准确判断各向量的夹角． 4．空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中四点共面的充要条件，即可求出结果. 【解答】因为空间四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点都有，所以，解得. 故选A 【点评】本题主要考查空间向量，熟记四点共面的充要条件，即可求出结果，属于常考题型. 5．设是棱长为的正方体，与相交于点，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将向量看成基底，然后用基底计算即可，注意它们的模长、夹角. 【解答】解：在正方体中. 对于A.，故A错误； 对于B.，故B正确； 对于C.，故C错误； 对于D.，所以D错误. 故选：B. 【点评】本题考查了空间向量的计算问题，突出基底意识，即利用基底将涉及到的向量表示出来，然后进行计算. 6．在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，且A，B，C不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离d等于（ ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】欲求底面中心到侧面的距离，先利用建立空间直角坐标系求出点A，B，P的坐标，及侧面的方程，最后利用所给公式计算即可． 【解答】以底面中心为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 设平面的方程为，将点A，B，P的坐标代入计算得，，，所以方程可化为，即， 所以． 故选：B. 【点评】本小题主要考查点、线、面间的距离计算、空间直角坐标系的应用、空间直角坐标系中点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 7．在正方体中，，分别为，的中点，则与平面所成的角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设正方体的棱长为，以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求线面角即可. 【解答】设正方体的棱长为，以为坐标原点，，，分别为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，令，则， 设与平面所成的角为，则， 即与平面所成的角的正弦值为. 故选：B 【点评】本题主要考查向量法求线面角，同时考查学生的计算能力，属于简单题. 8．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为，，则这个二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接求出这两个向量夹角的余弦值即为二面角的余弦值的绝对值. 【解答】设这两个向量分别为， 由题可知，这两个向量夹角的余弦值的绝对值即为二面角余弦值的绝对值， ， ，， ， ∴这个二面角的余弦值为或. 故选：D. 【点评】本题考查利用向量法求二面角的余弦值，注意因为向量方向的原因，在取结果的时候要考虑有两种情况. 9．若平面的法向量分别为，则（ ） A． B．与相交但不垂直 C． D．或与重合 【答案】D 【分析】利用垂直于同一直线的两个不同的平面平行以及法向量的定义即可得到答案. 【解答】因为，