专题13：空间向量与立体几何-备战2021年高考之2020新高考真题分项汇编

专题13：空间向量与立体几何-备战2021高考之2020新高考真题分项汇编 一、解答题 1．（2020·天津高考真题）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 2．（2020·北京高考真题）如图，在正方体中，E为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 3．（2020·海南高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 4．（2020·江苏高考真题）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 5．（2020·海南高考真题）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为． （1）证明：平面PDC； （2）已知PDAD1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值． 6．（2020·全国高考真题（理））如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题13：空间向量与立体几何-备战2021高考之2020新高考真题分项汇编 一、解答题 1．（2020·天津高考真题）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 解答： 依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）， 可得、、、、 、、、、. （Ⅰ）依题意，，， 从而，所以； （Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量， ，． 设为平面的法向量， 则，即， 不妨设，可得． ， ． 所以，二面角的正弦值为； （Ⅲ）依题意，． 由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是． 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 2．（2020·北京高考真题）如图，在正方体中，E为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）. 解答： （Ⅰ）如下图所示： 在正方体中，且，且， 且，所以，四边形为平行四边形，则， 平面，平面，平面； （Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则、、、，，， 设平面的法向量为，由，得， 令，则，，则. . 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 3．（2020·海南高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 答案：（1）证明见解析；（2）. 解答： （1）证明： 在正方形中，， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以， 因为在四棱锥中，底面是正方形，所以 且平面，所以 因为 所以平面； （2）如图建立空间直角坐标系， 因为，则有， 设，则有， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以平面的一个法向量为，则 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 4．（2020·江苏高考真题）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 答案：（1）（2） 解答： （1）连 以为轴建立空间直角坐标系，则 从而直线与所成角的余弦值为 （2）设平面一个法向量为 令 设平面一个法向量为 令 因此 5．（2020·海南高考真题）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为． （1）证明：平面PDC； （2）已知PDAD1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值． 答案：（1）证明见解析；（2）. 解答： （1）证明： 在正方形中，， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所