第5讲 二次根式-2021年中考数学优选知识点题型（一领三通）【学科网名师堂】

第5讲 二次根式 一、考点知识梳理 【考点1 二次根式的概念和性质】 1．平方根、算术平方根 若x2＝a，则x叫a的平方根．当a≥0时，是a的算术平方根．正数b的平方根记作±. 是一个非负数，只有非负数才有平方根． 2．立方根及性质 若x3＝a，则x叫a的立方根．求一个数的立方根的运算叫开立方；任一实数a的立方根记作； ＝a，()3＝a，＝－． 3．二次根式的概念 (1)形如(a≥0)的式子叫二次根式，而为二次根式的条件是a≥0； (2)满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式： ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式． 4．二次根式的性质 (1)＝·(a≥0，b≥0)；＝(a≥0，b＞0)； (2)()2＝a(a≥0)； (3)＝|a|＝ 【考点2 二次根式的运算】 二次根式的运算 (1)二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并； (2)二次根式的乘法：·＝(a≥0，b≥0)； (3)二次根式的除法：=(a≥0，b＞0)； (4)二次根式的估值：二次根式的估算，一般采用“夹近法”确定其值所在范围．具体地说，先对二次根式平方，找出与平方后所得的数相邻的两个能开得尽方的整数，对其进行开方，即可确定这个二次根式在哪两个整数之间； (5)在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用．二次根式的混合运算顺序是：先算乘除，后算加减，有括号时，先算括号内的(或先去括号)． 二、考点分析 【考点1 二次根式的概念和性质】 【解题技巧】 1.判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． 2.二次根式的基本性质：①≥0； a≥0（双重非负性）．②a＝ （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝a（a≥0）（算术平方根的意义） 【例1】（2020•广东）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2 【一领三通1-1】（2020•上海）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【一领三通1-2】（2020•云南）要使有意义，则x的取值范围是　 　． 【一领三通1-3】（2020•陕西）计算：（2+）（2﹣）＝　 　． 【一领三通1-4】（2020•黑龙江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　． 【一领三通1-5】（2020•泰州）下列等式成立的是（　　） A．3+4＝7 B．＝ C．÷＝2 D．＝3 【考点2 二次根式的运算】 【解题技巧】 1. 二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． 2.化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 3.二次根式运算的结果可以是数或整式，也可以是最简二次根式，如果二次根式的运算结果不是最简二次根式，必须化为最简二次根式． 【例2】（2020•南京）计算的结果是　　． 【一领三通2-1】（2020•广州）化简：﹣＝　 　． 【一领三通2-2】（2020•徐州）7的平方根是　 　． 【一领三通2-3】（2020•郑州模拟）计算：（）﹣1﹣|﹣2|＝　 　． 【一领三通2-4】（2020•广西）计算：﹣＝　 　． 【一领三通2-5】（2020•哈尔滨）计算+6的结果是　 　． 【一领三通2-6】（2020•青岛）计算：（﹣）×＝　 　． 3、 【达标测试】 （一）选择题 1.（2020•云南）下列运算正确的是（　　） A．＝±2 B．（）﹣1＝﹣2 C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．a6÷a3＝a3 （a≠0） 2.（2020•重庆）下列计算中，正确的是（　　） A．+＝ B．2+＝2 C．×＝ D．2﹣2＝ 3.（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A．+1 B．﹣1 C． D． 4.（2020•郑州模拟）下列实数中，最大的是（　　） A．﹣0.5 B．﹣ C．﹣1 D．﹣ 5.（2020•牡丹江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x≥0 C