第3讲 乘法公式和因式分解-2021年中考数学优选知识点题型（一领三通）【学科网名师堂】

第3讲 乘法公式和因式分解 一、考点知识梳理 【考点1 平方差公式】 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 【考点2 完全平方公式】 两数的平方和，加上（或者减去）它们的积的两倍等于它们和（或差）的平方 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 【考点3 因式分解】 1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式． 2．分解因式与整式乘法的关系：多项式整式的积． 3.　分解因式的基本方法 （1）．提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)． （2）．运用公式法： 平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2． 二、考点分析 【考点1 平方差公式】 【解题技巧】能够运用平方差公式进行多项式乘法运算的必须是两个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．反之能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式且符号相反． 【例1】（2020•温州）分解因式：m2﹣25＝　 　． 【一领三通1-1】（2020•玉林）分解因式：a3﹣a＝　 　． 【一领三通1-2】分解因式：1﹣x2＝　 　． 【一领三通1-3】（2020•昆明）分解因式：m2n﹣4n＝　　． 【考点2 完全平方公式】 【解题技巧】能运用完全平方公式进行多项式乘法运算的，必须是两个数（或差）的平方和的形式，反之能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 【例2】（2020•杭州）设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝　 　． 【一领三通2-1】（2020•湖南常德中考）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）． 理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0， 因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解． 解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为　 　． 【一领三通2-2】（2020•哈尔滨）把多项式m2n+6mn+9n分解因式的结果是　 　． 【一领三通2-3】（2020•宁夏）分解因式：3a2﹣6a+3＝　 　． 【一领三通2-4】（2020•山西）计算：（+）2﹣＝　 　． 【考点3 因式分解】 【解题技巧】因式分解的一般步骤： (1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式； (2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法来分解因式，看是否符合平方差公式还是完全平方公式，有时需考虑用十字交乘法； (3)检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式不能再分解为止． 【例3】（2020•河北）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（　　） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 【一领三通3-1】（2020 湖南常德中考）分解因式：xy2﹣4x＝　 　． 【一领三通3-2】（2020•黄石）因式分解：m3n﹣mn3＝　 　． 【一领三通3-3】（2020•成都）分解因式：x2+3x＝　x（x+3）　． 【一领三通3-4】（2020•铜仁市）因式分解：a2+ab﹣a＝　 　． 3、 【达标测试】 1、 选择题 1.（2020•河北）若＝8×10×12，则k＝（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 2.（2020•西藏）下列分解因式正确的一项是（　　） A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．2xy+4x＝2（xy+2x） C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2 D．x2+y2＝（x+y）2 3.（2020•牡丹江）一列数1，5，11，19…按此规律排列，第7个数是（　　） A．37 B．41 C．55 D．71 4.（2020•杭州）（1+y）（1﹣y）＝（　　） A．1+y2 B．﹣1﹣y2 C．1﹣y2 D．﹣1+y2 5.（2020•孝感）已知x＝﹣1，y＝+1，那么代数式的值是（　　） A．2 B． C．4 D．2 2、 填空题 1.（2020•海南）因式分解：x2﹣2x＝　 　． 2.（202