沪教版（上海）数学高二下册-11.4 点到直线的距离 教案

11.4.1 点到直线的距离 教学目标设计 通过学习，学会推导点到直线的距离公式并掌握点到直线的距离公式. 通过对点到直线之间公式推导方法的分析、比较与体验，领悟公式推导过程中的数学思想和思维方法，培养分析问题和解决问题的能力. 通过对点到直线之间的距离、平行线之间距离的探究，培养理性思维能力.经历问题解决过程，体验合作精神. 教学重点及难点 教学重点： 点到直线距离公式及其推导过程. 教学难点： 在推导点到直线距离公式过程中，学习和领悟问题解决过程中的数学思想方法. 教学过程设计 1、引例 一工厂要修筑一条通往它附近的高速公路（直道）的道路，问如何修建才能使得修建的道路最短？ 点到直线的距离：从直线外一点到这条线的垂直线段的长，即该点与垂足间的距离，叫做点到直线的距离. 建立直角坐标系，已知P(x0，y0)，直线l：ax+by+c=0，求点P到直线l的距离. 请求解下列问题： 问题1：已知点P（2，1），直线l的方程是x-3=0，求点P到直线l的距离； 问题2：已知点P（2，1），直线l的方程是y+1=0，求点P到直线l的距离； 问题3：已知点P（2，1），直线l的方程:3x+4y-5=0，求点P到直线l的距离. 从学生原有的知识基础出发，问题1、问题2一般会通过画图求得，对问题3一般会先求出垂足Q点坐标，然后利用两点间的距离公式，求得|PQ|。 三位学生板书完成上述三个问题的求解。 2、点到直线距离公式的推导 1）明确并提出问题 已知直线l：ax+by+c=0，直线外一点P(x0,y0).其中a、b、c、x0、y0为常数. 如何表示点P到直线l的距离d? 有了上面三个问题的解决，学生自然会想到先求直线PQ的方程，其次联立直线PQ与l的方程，求出垂足Q的坐标，继而利用两点间的距离公式，求得|PQ|。 学生在求解的过程感到计算的繁琐，教师可以引导学生思考：先回顾“什么是点到直线的距离？”——点到直线距离其实是点到直线上任意一点距离的最小值。 2） 推导点到直线的距离公式 通过对问题的分析，设Q（x１,y１）为直线l上任意一点，那么 在直线l一个法向量 =（a,b）方向上的投影的绝对值，即为点P到直线l的距离d。 推导如下： ， 因为 ，由于 所以 . 又点Q在直线l上，所以ax1+by1+c=0，即ax1+by1= -c.得 . 即点P(x