专题08 公式法求等差等比数列和-2021年新高考数学难点解题方法突破（新高考专用）

专题08 公式法求等差等比数列和 一、单选题 1．已知等差数列，其前项的和为，，则（ ） A．24 B．36 C．48 D．64 【答案】B 【分析】 利用等差数列的性质进行化简，由此求得的值. 【详解】 由等差数列的性质，可得，则 故选：B 2．已知等比数列的前项和为，若，且数列也为等比数列，则的表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设等比数列的公比为，当时，，该式可以为0，不是等比数列，当时，，若是等比数列,则，可得，利用，可以求得的值，进而可得的表达式 【详解】 设等比数列的公比为 当时，，所以， 当时，上式为0，所以不是等比数列. 当时，， 所以， 要使数列为等比数列，则需，解得. ，， 故. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是熟记等比数列的前项和公式，等比数列通项公式的一般形式，由此若是等比数列，则，即可求得的值，通项即可求出. 3．已知数列的前n项和，则（ ） A．350 B．351 C．674 D．675 【答案】A 【分析】 先利用公式求出数列的通项公式，再利用通项公式求出的值. 【详解】 当时，； 当时，. 不适合上式， . 因此，； 故选：A. 【点睛】 易错点睛：利用前项和求通项，一般利用公式，但需要验证是否满足. 4．等差数列的首项为，公差不为．若、、成等比数列，则的前项的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差，由此求得的前项的和. 【详解】 设等差数列的公差为，由、、成等比数列可得， 即，整理可得，又公差不为0，则， 故前项的和为. 故选：A 5．等差数列中，，则此数列的前项和等于（ ） A．160 B．180 C．200 D．220 【答案】B 【分析】 把已知的两式相加得到，再求得解. 【详解】 由题得， 所以. 所以. 故选：B 6．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了米，最后三天共跑了米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】 利用等差数列性质得到，，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】 根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为， 则，故，，故， 则. 故选：B. 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A．80里 B．86里 C．90里 D．96里 【答案】D 【分析】 由题意得每天行走的路程成等比数列、且公比为，由条件和等比数列的前项和公式求出，由等比数列的通项公式求出答案即可． 【详解】 由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得， 解得，此人第二天走里， 第二天走了96里， 故选：D． 8．设等差数列的前项和为，且，则（ ） A．45 B．50 C．60 D．80 【答案】C 【分析】 利用等差数列性质当 时及前项和公式得解 【详解】 是等差数列，，， 故选：C 【点睛】 本题考查等差数列性质及前项和公式，属于基础题 9．已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由利用，得到数列是以1为首项，为公比的等比数列，进而得到是以1为首项，为公比的等比数列，利用等比数列前n项和公式得到，，将恒成立，转化为对恒成立，再分为偶数和为奇数讨论求解. 【详解】 当时，，得； 当时，由， 得， 两式相减得， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列. 因为， 所以. 又，所以是以1为首项，为公比的等比数列， 所以，， 由，得， 所以， 所以. 又，所以， 所以， 即对恒成立， 当为偶数时，， 所以， 令，则数列是递增数列， 所以； 当为奇数时，， 所以， 所以， 所以. 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题. 10．等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ） A．72 B．90 C．36 D．45 【答案】B 【分析】 由题意结合成等比数列，有即可得，进而得到、，即可求. 【详解】 由题意知：，，又成等比数列， ∴，解之得， ∴，则， ∴， 故选：B 【点睛】 思路点睛：由其中三项成等比数列