考点02 指数与对数的运算-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

考点02 指数与对数的运算 知识理解 一．指数运算 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果a＝xn，那么x叫做a的n次实数方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数 0的n次实数方根是0 当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝(n为偶数)； ②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂是＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； ②正数的负分数指数幂是＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； ③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质 ①asat＝as＋t(a>0，t，s∈Q)；②(as)t＝ast(a>0，t，s∈Q)；③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)． 二．对数的概念 (1)对数的定义 ①一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数． ②底数的对数是1，即logaa＝1,1的对数是0，即loga1＝0. (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0且a≠1) logaN 常用对数 底数为10 lg N 自然对数 底数为e ln N 4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①＝N(a>0且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0且a≠1)． (2)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)；②logab＝(a，b均大于零且不等于1)． (3)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④＝logaM 考向一 根式考向分析 【例1】（2020·全国练习）化简下列各式： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）（2）原式（3） 【解析】（1）原式. （2）原式， 当时，原式； 当时，原式. ∴原式 （3）原式 . 【举一反三】 1．_____________. 【答案】 【解析】 化简得：， 整理得：. 故答案为：. 2．（2020·四川省冕宁中学校）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A. ，故错误； B. ，故错误； C. ,故正确； D. ，故错误；故选：C 3．下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，当为负数时等式不成立，故A不正确； 对于B，，当时无意义，故B不正确； 对于C，，左边为正，右边为负，故C不正确； 对于D，，故D正确.故选：D. 考向二 指数运算 【例2】（2020·浙江课时练习）计算下列各式： （1）. （2）. （3）. 【答案】（1）；（2）100；（3）. 【解析】（1）原式. （2）原式. （3）原式. 【举一反三】 （1） （2）． （3）； （4） （5） （6） ； 【答案】（1）.（2）（3）0（4）（5）；（6）7) 【解析】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质， 可得：，故答案为： （2）． （3）. （4） （5）原式 （6）原式. （7）原式； 考向三 指对数的转化 【例3】将下列指数式与对数式互化. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）.（2）.（3）.（4）. 【解析】因为由可得，所以 (1)由可得； (2)由可得； 由可得，所以 (3)由可得； (4)由可得. 【举一反三】 1．（2020·上海课时练习）将下列指数式改为对数式： （1），对数式为_____________； （2），对数式为___________； （3），对数式为_____________； （4），对数式为_____________. 【答案】 【解析】(1) 利用互化公式可得，. (2) 利用互化公式可得， (3) 利用互化公式可得， (4) 利用互化公式可得，. 故答案为: ；；；. 2．（2020·全国课时练习）用对数的形式表示下列各式中的x： （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】（