湖南省娄底市双峰县第一中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题

高三数学试卷 考生注意： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择題）两部分，共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填写在答题卡上. 3.本试卷主要考试内容：人教 版集合与逻辑、函数与导数、三角函数与解三角形、向量、数列、复数、立体几何、直线与圆、椭圆. 第Ⅰ卷 一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 2. 为虚数单位，复数 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 3. “ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 4. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 5. 函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 6. 若动点 分别在直线 和 上，则 的中点 到坐标原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 7. 朱载堉是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的律学家，历学家、音乐家.朱载堉对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”.十二平均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半单比例应该是 ，如果12音阶中第一个音的频率是 ，那么第二个音的频率就是 ，第三个单的频率就是 ，第四个音的频率是 ，……，第十二个音的频率是 ，第十三个音的频率是 ，就是 .在该问题中，从第二个音到第十三个音，这十二个音的频率之和为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 8. 如图，在四面体 中， ， ， ，△ 的重心为 ，则 （ ）. A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知命题 ， ，则（ ）. A. 是真命题 B. ， EMBED Equation.DSMT4 C. 是真命题 D. ， 【答案】AD 10. 已知函数 ，若 的最小正周期为 ，则下列说法正确的有（ ） A. 图象的对称中心为 B. 函数 在 上有且只有两个零点 C. 的单调递增区间为 D. 将函数 的图象向左平移 个单位长度，可得到 的图象 【答案】CD 11. 已知正方体 的棱长为2， ， 分别是 ， 的中点，过 ， 的平面 与该正方体的每条棱所成的角均相等，以平面 截该正方体得到的截面为底面，以 为顶点的棱锥记为棱锥 ，则（ ） A. 正方体 的外接球的体积为 B. 正方体 的内切球的表面积为 C. 棱锥 的体积为3 D. 棱锥 的体积为 【答案】AC 12. 已知函数 ，其导函数为 ，下列命题中为真命题的是（ ） A. 的单调减区间是 B. 的极小值是﹣6 C. 过点 只能作一条直线与 图象相切 D. 有且只有一个零点 【答案】BCD 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 已知函数 ，则 ______. 【答案】1 14. 已知向量 ， ，若 ，则 ________. 【答案】 15. 已知直线 与椭圆 相交于 两点，椭圆的两个焦点分别是 ，线段 的中点为 ，则 的面积为______ 【答案】 16. 若 为直线 上一个动点，从点 引圆 的两条切线 ， （切点为 ， ），则 的最小值是________. 【答案】 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）化简： （2）已知 ， ，求 （用 表示） 【答案】（1）7；（2） . 18. 在① 且 ，② ，③ 的面积 这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答. 问题：在 中，内角 所对的边分别为 ，且______. （1）求 ； （2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长. 【答案】选择见解析；（1） ；（2） 19. 设正项数列 的前 项和为 ， ，且 . （1）证明：数列 是等差数列并求数列 的通项公式； （2）已知 ，数列 的前 项的和为 ，若 对一切 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； ；（2） . 20. 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 是边长为2的正三角形， ，点 为线段 的中点，点 是 上的点. （1）当 为 中点时，证明：平面 平面 （2）当 时，求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2