专练09（解答题-压轴，20题）-2020～2021学年高一数学上学期期末考点必杀黄金200题（北师大2019版）

专练09（解答题-压轴） 一、解答题 1．（2019·昆明市官渡区第一中学高一期中）已知函数 （Ⅰ）画出函数图像； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）当时，求取值的集合. 【答案】（1）图象见解析；（2），；（3）． 【解析】 【分析】 （Ⅰ）分段画图； （Ⅱ）先计算，再计算，，计算选用； （Ⅲ）对分段，按，和分别求值域，然后再求并集． 【详解】 （Ⅰ） （Ⅱ）由题意，， ； （Ⅲ）时，，时，，时，， ∴的值域为． 【点睛】 本题考查分段函数，解题时分段函数问题要分段求解，求函数值时要确定自变量的取值范围，不同的范围选用不同的表达式计算，求分段函数值域，必须按函数定义分段求值域，然后求并集． 2．已知函数 (1)当a=-1时,求不等式f(x)>0的解集; (2)若对于任意的x∈R,均有不等式f(x)≤0成立,求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）解一元二次不等式得结果，（2）先讨论时的情况，再根据二次函数图象确定时，参数满足的条件，最后求并集得结果. 【详解】 （1）当时，不等式，即，即，即，解得，故不等式的解集为. （2）①当时，恒成立； ②当时，要使得不等式恒成立， 只需即 解得即. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】 研究形如恒成立问题，注意先讨论的情况，再研究时，开口方向，判别式正负，对称轴与定义区间位置关系，列不等式解得结果. 3．已知函数. （1）证明：函数在上单调递增； （2）令，若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判定符号、下结论的步骤完成即可； （2）由已知可得，令，由（1）知，则，在上恒成立，再对对称轴分类讨论即可得解； 【详解】 解：（1）任取，，且设. ， ，且设， ，，， ， ∴函数在上单调递增. （2）， 设，由（1）知，当时，， ，， 当时，，解得； 当时，，无解. ∴实数的取值范围是. 【点睛】 本题考查定义法证明函数的单调性，不等式恒成立问题，考查转化化归思想，属于中档题. 4．（2020·山东期末）（1）计算：； （2）已知集合.若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）利用对数指数公式直接计算得到答案. （2）计算，，得到，讨论和两种情况，分别计算得到答案. 【详解】 （1）原式 （2），得 所以，即. 所以，因为 ①当时，则有，得 ②当时，则有，得 综上所述，实数的取值范围为 【点睛】 本题考查了指数对数的计算，根据集合的包含关系求参数，忽略掉空集是容易发生的错误. 5．己知函数. （1）当时，求函数在区间上的值域； （2）求函数在区间上的最大值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）利用二次函数的图象和性质求值域； （2）讨论对称轴与区间中点的大小关系，即可得答案； 【详解】 （1）由题意，当时，，又， 对称轴为，， 离对称轴较远，， 的值域为. （2）由题意，二次函数开口向上，对称轴为，由数形结合知， （i）当，即时，； （ii）当，即时，， 综上：. 【点睛】 本题考查一元二次函数的值域求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意抛物线的开口方向及对称轴与区间的位置关系. 6．（2020·湖北高一期末）已知函数，，将函数图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象. （1）分别求函数与的解析式； （2）设函数，若有零点，求实数的取值范围. 【答案】（1），，，；（2）. 【解析】 【分析】 （1）令，可得出，利用换元法可求出函数的解析式，再利用平移规律可得出函数的解析式； （2）由题意得出，令，由可得出，再令，可得出，求出函数在区间上的值域，利用双勾函数的单调性求出即可. 【详解】 （1）令，，，所以， ，. 由题意可得，； （2），， 令，函数有零点等价于关于的方程在有解. ，令，则， ， 由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递减， 当时，该函数取得最小值，即， 当时，该函数取得最大值，即， 因此，实数的取值范围为. 【点睛】 本题考查利用换元法求函数解析式，同时也考查了函数的图象变换以及利用函数有零点求参数的取值范围，借助参变量分离法求解可简化计算，考查分析问题和解题问题的能力，属于中等题. 7．（2020·安徽安庆一中高二期末（文））某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试，先从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分） （1）求频率分布直方图中的的值，并估计50名学生的