专练08（解答题-提升，20题）-2020～2021学年高一数学上学期期末考点必杀黄金200题（北师大2019版）

专练08（解答题-提升） 一、解答题 1．（2020·山西高一月考）（1）若关于的不等式的解集是的子集，求实数的取值范围； （2）已知，，均为正数，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）16. 【解析】 【分析】 （1）讨论，两种情况，分别求出不等式的解集，结合题中条件，即可得出结果； （2）根据，得到，所求式子化为，结合基本不等式，即可求出最小值. 【详解】 （1）由可得， 当时，不等式的解集为，此时显然是的子集； 当时，不等式的解集为，要使其为的子集，只需，即，. 综上，实数的取值范围为； （2）根据题意，，则， 则， 当且仅当时，等号成立； 则的最小值为16. 【点睛】 本题主要考查分类讨论法解含参数的一元二次不等式，考查由基本不等式求最值，属于常考题型. 2．（1）； （2）求值：. 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】 利用指数幂，对数的运算律即得解. 【详解】 （1）. （2） 【点睛】 本题考查了指数幂，对数的运算，考查了学生数学运算的能力，属于基础题. 3．求证：函数在上是增函数． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 利用定义法任取，作差证明即可得证. 【详解】 任取， 所以. 所以函数在上是增函数． 【点睛】 此题考查函数单调性的证明，常利用定义法作差证明函数单调性，需要注意熟练掌握作差定号的基本步骤. 4．（2020·随州市第一中学高一月考）（1）已知求函数的最大值； （2）已知求函数的最大值； （3）若求的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】 （1）变形得，利用基本不等式即可求最值； （2）凑系数，利用基本不等式即可求最值； （3）对用基本不等式后，对函数式再用一次基本不等式即可求最值． 【详解】 解：（1）， ， ，当且仅当，即时等号成立； 则， ， 所以函数的最大值为； （2）， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最大值为； （3）， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为． 【点睛】 本题考查基本不等式求最值，注意基本不等式的使用需满足一正，二定，三相等，特别要注意等号的成立条件，是基础题． 5．（2019·山东高一月考）已知函数， (1)若该函数在区间上是减函数，求的取值范围. (2)若，求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】 （1）根据函数在区间上是减函数,得,由此可求得的范围； （2）当时，，得出函数在和上单调递减，从而得在的最大值和最小值. 【详解】 （1）因为函数在区间上是减函数, 所以,解得, 所以的取值范围. （2）当时，，则在和上单调递减，因为，所以在的最大值是，最小值是， 所以该函数在区间上的最大值为，最小值为． 【点睛】 本题考查反比例函数的单调性和运用其单调性求在已知闭区间上的最值，属于基础题，在求解反比例函数的相关问题，常需运用变量集中的方法，将自变量集中在分母上后，再研究相关的单调性、值域等问题。 6．已知函数. （1）求，的值；（2）当时，求x的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据分段函数解析式，代入求值即可； （2）分，，三种情况讨论，分别求出不等式的解集，最后取并集即可； 【详解】 解:（1）因为 所以 所以， 因为，所以 （2）①当时，由， 得； ②当时，满足题意 ③当时，由，得 综上所述：x的取值范围是：或. 【点睛】 本题考查分段函数的性质应用，分段函数求值及解分段不等式，考查分类讨论思想，属于基础题. 7．（2020·陕西西安市远东一中高一月考）若是定义在上的增函数，且对一切，，满足. （1）求（1）的值；（2）若（6），解不等式. 【答案】（1）0；（2）. 【解析】 【分析】 （1）令可得； （2）利用，将化为（6），再根据函数的单调性和定义域列式可解得结果. 【详解】 （1）在中， 令，得（1）（1）（1）， （1）. （2）（6）， （6）（6）， （6）（6）， 即：（6）， 是上的增函数， ，解得. 故不等式的解集为. 【点睛】 本题考查了利用单调性解抽象函数的不等式，属于基础题. 8．（2019·涡阳县第九中学高二期末）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]. （1）求图中的值； （2）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()与数学成绩相应分数段的人数()之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数. 【答案】（1）；（2）10人. 【解析】 【分析】 （1）根据频率和为1，求图中的值；（2）两个表格结合求数学成绩在的人数，再求之外的人数. 【详解】 （1）. （2）数