专练07（解答题-基础，20题）-2020～2021学年高一数学上学期期末考点必杀黄金200题（北师大2019版）

专练07（解答题-基础） 一、解答题 1．（2020·河北沧州市一中高一月考）已知集合，. （1）求； （2）求， 【答案】（1）；（2），. 【解析】 【分析】 （1）先解分式不等式，得到，根据交集的概念，即可得出结果； （2）根据并集的概念，求出；再由补集的概念，求出，进而可得出结果. 【详解】 （1）因为，， 所以； （2）由（1）可得，， 又或， 所以. 【点睛】 本题主要考查求集合的交集、并集，以及交集和补集的混合运算，属于基础题型. 2．（2019·福建厦门双十中学高一月考）已知函数的图像经过点. （1）求值，并写出函数的解析式； （2）判断函数在上是增函数还是减函数，并用单调性定义证明. 【答案】（1）.（2）单调递增.见解析 【解析】 【分析】 （1）将点代入函数解析式，建立关于的方程，即可求出，进而求出解析式． （2）利用函数单调性的定义进行证明，即可得出结论. 【详解】 解：（1）∵图像过，∴，解得. 则 （2）由（1）知，设，为任意两数且，则， ∵，∴，，∴， 即，所以函数在单调递增. 【点睛】 本题主要考查函数解析式的求法，利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，属于基础题． 3．（2019·河北高一期中）(1)计算： (2)计算： 【答案】(1)100；(2). 【解析】 【分析】 （1）将指数幂进行整理，根据指数幂的运算法则，即可求解； （2）根据对数的运算法则，和对数恒等式，即可求解. 【详解】 （1） ； （2） . 【点睛】 本题考查指数幂、对数计算，熟记计算公式是解题的关键，属于基础题. 4．（2020·江苏高二期中）解下列不等式： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）原不等式可化为，然后按一元二次不等式的解法解出即可； （2）原不等式可化为，等价变形为，解此不等式组即可. 【详解】 （1）原不等式可化为，解得，所以原不等式的解集； （2）原不等式可化为，等价于，解得或. 所以原不等式的解集为. 【点睛】 本题考查一元二次不等式和分式不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题. 5．（2017·上海市行知中学高三月考）某医药研究所开发一种新药，据监测：服药后每毫升血液中的含药量与时间之间满足，当时，满足，当时，满足．据测定：每毫升血液中含药量不少于微克时治疗疾病有效．请你算一下，服用这种药一次大概能维持多长的有效时间？(精确到小时) 【答案】服用这种药一次大概能维持的有效时间为小时 【解析】 【分析】 根据图像易得和共有两个交点，在这之间都有药效，分别代入两个解析式即可。 【详解】 由，解得：① 由，解得：② 由①、②知：， ， ∴服用这种药一次大概能维持的有效时间为小时． 【点睛】 此题考查函数的实际应用，理解清楚题意分段函数分别处理，属于简单题目。 6．（2020·全国高一课时练习）判断函数的单调性,并证明. 【答案】增函数,见解析. 【解析】 【分析】 令，利用单调性定义可证为增函数. 【详解】 这个函数是增函数，证明如下:函数的定义域为. 任取且，则，， 又. 所以这个函数是增函数. 【点睛】 本题考查函数单调性的证明，证明的基本步骤为取点、作差、定号，最后给出结论，定号时需将差分子有理化，以便于定号，本题考查了学生的推理论证能力，本题属于基础题. 7．（2020·全国高一课时练习）判断函数（且）的奇偶性，并证明. 【答案】是奇函数，证明见解析 【解析】 【分析】 直接根据奇偶性的定义进行判断． 【详解】 解：函数（且）是奇函数． 证明如下：，， ∴（且）是奇函数． 【点睛】 本题主要考查用定义判断函数的奇偶性，属于基础题． 8．（2020·福建省建瓯市芝华中学月考）已知命题 ，命题 ，且 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】 即所对应的集合是 所对应集合的真子集. 【详解】 是 的必要不充分条件, 且不能同时取等，得. 【点睛】 此题考查命题条件间的关系，注意“必要不充分条件”对应两集合的包含关系但不能取等. 9．（2020·全国高一课时练习）已知，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 由题设条件，结合不等式的可乘性求证即可. 【详解】 证明：∵， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴. 故命题得证. 【点睛】 本题考查了不等式的性质，重点考查了不等式的可乘性及不等式的可乘性的条件，属中档题. 10．已知函数为偶函数，． （1）求a的值，并讨论的单调性； （2）若，求x的取值范围． 【答案】（1），在上单调递增，在上单调递减；（2）. 【解析】 【分析】 【详解】 解：因为函数为偶函数， 所以， 所以在定义域内恒成立，……2分 所以在定义域内恒成立， 化简得恒成立， 所以，………………………………