专练09（解答题-压轴，20题）-2020～2021学年高一数学上学期期末考点必杀黄金200题（北师大版）

专练09解答题-压轴 1．（2020·江西）已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】 （1）当时，先分别化简集合A，B，再求； （2），也就是，集合A，B没有公共元素，这样，就可以建立不等关系，从而可求实数a的取值范围． 【详解】 （1）当时，，或， ∴或； （2）因为， 所以或，解得或， 所以a的取值范围是． 【点睛】 本题考查交集的求法，考查由交集的结果求参数的取值范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 2．（2020·广东期末）已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）设，若不等式对都成立，求实数的取值范围； （3）若且时，求函数的零点. 【答案】（1），．（2）（3）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据根与系数关系列方程组，解方程组求得的值. （2）将不等式转化为，求得左边函数的最小值，由此解一元二次不等式求得的取值范围. （3）利用判别式进行分类讨论，结合函数的定义域，求得函数的零点. 【详解】 （1）因为不等式的解集为，所以-3,1为方程的两个根， 由根与系数的关系得 ，即，． （2）当时，， 因为不等式对都成立， 所以不等式对任意实数都成立． 令， 所以． 当时，， 所以，即，得或， 所以实数的取值范围为． （3）当时，， 函数的图像是开口向上且对称轴为的抛物线， ． ①当，即时，恒成立，函数无零点． ②当，即或时， （ⅰ）当时，，此时函数无零点． （ⅱ）当时，，此时函数有零点3． ③当，即或时，令，得 ， ． （ⅰ）当时，得，此时， 所以当时，函数无零点． （ⅱ）当时，得，此时，所以当时，函数有两个零点：，． 综上所述：当，时，函数无零点； 当，时，函数有一个零点为3； 当，时，函数有两个零点：，． 【点睛】 本小题主要考查一元二次不等式解集，考查根与系数关系，考查不等式恒成立问题的求解，考查函数零点问题的研究，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 3．（2019·湖南长郡中学高三月考（文））如图，已知四棱锥的底面是梯形，，且，O为的中点. （1）证明：平面；（2）求点C到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】 (1)利用等边三角形三线合一性质和勾股定理得线线垂直,进而得线面垂直; (2)利用等体积法求点到面的距离. 【详解】 （1）因为，所以，且， 因为，，所以. 连接，则， 因为， 所以， 又，所以平面 （2）设点C到平面的距离为， 易知 取的中点E，连接，由，知， 所以，又，所以是等边三角形 所以. 所以. 所以， 由得，解得. 故点C到平面的距离为. 【点睛】 本题考查空间线面垂直的证明和点到面的距离的计算,难度一般. 4．（2020·江苏省沭阳高级中学高三）如图，在四棱锥中. （1）若平面，，求证：平面平面； （2）若，为的中点，当平面时，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由平面，得，由，得平面，由此能证明平面平面． （2）取中点，连结，，由，且，由，得，从而，进而得到四边形是平行四边形，由此能求出． 【详解】 （1）证明：平面，平面， ，，， 平面， 平面，平面平面． （2）取中点，连结，， 为的中点，，且， ，，四边形是平面图形， 平面，平面，， 四边形是平行四边形，， ． 【点睛】 本题考查面面垂直的证明、两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题． 5．（2019·河南高一月考）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，都满足. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）设函数，求在区间上的最大值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）分别令，和，，可得出关于和的方程组，即可解出的值； （2）令，则，再用替换可得出，利用加减消元法可解出，即可得出函数的解析式； （3）由题意得出，然后分和，分析二次函数在区间上的单调性，即可得出函数在区间上的最大值的表达式. 【详解】 （1）令，，得； 令，，得. 由，解得； （2）令，则，所以， 由以上两式，解得， 即，所以； （3）. 当，即时，此时，函数在区间上单调递增， ； 当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则. 综上，. 【点睛】 本题考查函数值的求解、利用方程组法求函数解析式，同时也考查了二次函数在区间上的最值的求解，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题. 6．（2019·全国高一课时练习）某企业生产某产品，年产量为万件，收入函数和成本函数分别为（万元），（万元），若税收函数（万元），（其中常数为税率）. （1）设，当年产量为何值时