专练08（解答题-提升，20题）-2020～2021学年高一数学上学期期末考点必杀黄金200题（北师大版）

专练08解答题-提升 1．（2018·重庆市第七中学校高一期中）已知集合 （1）求； （2）若集合,求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）化简集合根据交集定义,补集定义和并集定义,即可求得答案; （2）由,所以,讨论和两种情况,即可得出实数a的取值范围． 【详解】 （1）集合 ,， （2） 当为空集时, 当为非空集合时,可得  综上所述:的取值范围是． 【点睛】 本题考查了不等式的解法,交集和补集的运算,解题关键是掌握集合的基本概念和不等式的解法,考查了计算能力,属于基础题. 2．（2019·芜湖市城南实验中学高二期中（文））已知圆：，直线：. （1）求证：直线与圆相交；（2）计算直线被圆截得的最短的弦长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】 （1）先求得直线：过定点，然后结合点与直线的位置关系求解即可； （2）由圆的性质可得：当垂直弦时，弦长最短，再利用勾股定理求解即可. 【详解】 解：（1）将圆的一般方程化为标准方程得：，则圆心坐标为，半径为， 又直线：变形为， 解不等式组，解得， 即直线经过定点， 又， 则点在圆的内部， 故直线和圆相交. （2）由圆的性质可得：当垂直弦时，弦长最短， 又， 则， 即 , 故直线被圆截得的最短的弦长. 【点睛】 本题考查了点与圆的位置关系，重点考查了圆的弦长的求法，属基础题. 3．（2020·湖北高一期末）(1)已知，求; (2)已知，求的解析式. 【答案】(1)，;(2)， 【解析】 【分析】 （1）直接将和分别代入原函数，进行运算，即可求出对应函数的解析式； （2）用构造方程组的思维来求函数的解析式，将代入，构造出一个等式，将新等式与原等式可以看作一个关于和的方程组，然后消去，即可得到的解析式． 【详解】 解： （1） ， . （2） ，得，所以. 【点睛】 本题考查了求函数解析式的方法，分别利用了直接法和构造方程组法，属于基础题． 4．（2020·山东曲阜一中高一月考）已知函数f(x)＝. （1）求f(2)＋f，f(3)＋f的值； （2）由（1）中求得的结果，你发现f(x)与f有什么关系？并证明你的发现. （3）求2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2017)＋f＋f(2018)＋f的值. 【答案】（1）f（2）＋f＝1，f（3）＋f＝1；（2）f(x)＋f＝1；证明见解析；（3）2018. 【解析】 【分析】 （1）根据函数解析式，代值计算即可； （2）观察（1）中所求，结合函数解析式，即可证明； （3）根据（2）中所求，两两配对，即可容易求得结果. 【详解】 （1）因为f(x)＝，所以f（2）＋f＝＋＝1 f（3）＋f＝＋＝1. （2）由（1）可发现f(x)＋f＝1.证明如下： f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1，是定值. （3）由（2）知，f(x)＋f＝1， 因为f（1）＋f（1）＝1，f（2）＋f＝1，f（3）＋f＝1， f(4)＋f＝1， … f(2018)＋f＝1， 所以2f（1）＋f（2）＋f＋f（3）＋f＋…＋f(2017)＋f＋f(2018)＋f＝2018. 【点睛】 本题考查函数值的求解，注意观察，属基础题. 5．（2019·台州市蓬街私立中学高二月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. （1）证明：平面﹔（2）证明：平面. 【答案】（1）见详解；（2）见详解. 【解析】 【分析】 （1）连接交于点，连接，利用中位线定理得出，故平面； （2）由⊥底面 ，得，结合得平面，于是，结合得平面，故而，结合，即可得出平面. 【详解】 （1）连接交于点，连接， ∵底面是正方形，∴点是的中点． 又为的中点，∴； 又平面，平面， ∴平面； （2）∵底面，平面，∴； ∵底面是正方形，∴； 又，平面，平面， ∴平面． 又平面，∴； ∵，是的中点，∴； 又平面，平面，， ∴平面； 而平面，∴； 又，且，平面，平面， ∴平面． 【点睛】 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，熟记判定定理即可，属于常考题型. 6．（2019·安徽合肥一中高二期中（理））已知圆的圆心在轴上，且经过点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）（2）或 【解析】 【分析】 （1）根据题意，设的中点为，求出的坐标，求出直线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案，设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案； （2）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案. 【详解】 解：（1）设的中点为，则， 由圆的性质得， 所以，得， 所以线段的垂直平分线方程是， 设圆的标准方程为