专练09（解答题-压轴，20题）-2020～2021学年高一数学上学期期末考点必杀黄金200题（人教A版2019）

专练09解答题-压轴 1．（2020·江苏高一期中）已知，，. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由全称命题为真，结合一元二次不等式恒成立即可得解； （2）由一元二次不等式结合命题间的关系可转化条件为，即可得解. 【详解】 （1）若命题为真，则不等式对恒成立， 所以，， 所以实数的取值范围为； （2）命题等价于，命题等价于， 因为是的充分不必要条件，所以， 所以且上述等号不同时成立，所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】 解决本题的关键是合理转化条件：将全称命题为真转化为一元二次不等式恒成立，将命题间的关系转化为集合间的关系. 2．求下列各式的值. （1）. （2）. 【答案】（1）；（2）210 【分析】 （1）根据对数的运算法则运算求值即可（2）根据指数的运算法则化简求值. 【详解】 （1） （2） 【点睛】 本题主要考查了对数的运算，指数的运算，属于中档题. 3．（2020·台州市实验中学高一期中）已知二次函数满足且. （1）求函数的解析式； （2）若且在上的最大值为8，求实数的值. 【答案】（1）；（2）或 【分析】 （1）由，可知关于对称，结合、，可求出函数的解析式； （2）分和两种情况，分别讨论函数的最大值，令最大值等于8，可求出实数的值. 【详解】 （1）∵，函数关于对称， 又，故设，， 而，，解得， ，即. （2）①当时，，由，则， 由二次函数的性质可知，的最大值为中的较大者， 若，解得或，都不符合题意，舍去； 若，解得或，只有符合题意. ②当时，，由，则， 由二次函数的性质可知，的最大值为中的较大者， 若，解得或，只有符合题意； 若，解得或，都不符合题意. 综上所述，实数的值为或. 【点睛】 易错点睛：本题主要考查二次函数相关知识，属于中档题.解决该问题应该注意的事项： （1）要注意二次函数的开口方向、对称轴、顶点； （2）开口向上的二次函数，图象上的点离对称轴越远，函数值越大；离对称轴越近，函数值越小； （3）开口向下的二次函数，图象上的点离对称轴越远，函数值越小；离对称轴越近，函数值越大. 4．（2020·邵东市第一中学高二月考）已知函数在一个周期内的图象如图所示． （1）求函数的解析式．（2）求方程的解的个数． 【答案】（1）；（2）63． 【分析】 （1）由题图，知，，从而求得，易知点是五点作图法中的第五点，可得； （2）在同一平面直角坐标系中作函数和函数的图象，结合图象的交点个数即可求出答案． 【详解】 解：（1）由题图，知， 由函数图象过点，得，即，又，∴， 易知点是五点作图法中的第五点，∴，则， ∴； （2）在同一平面直角坐标系中作函数和函数的图象如图所示， 因为的最大值为2，令，得， 令，得， 而，且， ∴在区间内有31个形如的区间， 在每个区间上与的图象都有两个交点， 故这两个函数的图象在上有（个）交点， 另外，两函数的图象在上还有一个交点， 所以方程共有63个实数解． 【点睛】 本题主要考查三角函数的图象与性质，考查函数与方程，考查数形结合思想，考查转化与化归能力，属于中档题． 5．设函数， (1)用定义证明：函数是R上的增函数； (2)证明：对任意的实数t，都有； (3)求值：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析（3）9.5 【分析】 （1）设，计算，判断，判断函数是单调递增函数； （2），再变形计算求值； （3）根据（2）的结果，计算求值. 【详解】 解：（1）证明：设任意， 则 又， ∴在R上是增函数 （2）对任意t, ∴对于任意t, （3）∵由（2）得 【点睛】 本题考查定义法证明函数单调性，以及指数幂的综合运算，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型. 6．（2016·上海高一期中）已知函数. （1）实数的值为多少时，是偶函数； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围； （3）若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】 （1）利用偶函数的定义进行求值； （2）由题意，可得，进而利用不等式即可； （3）利用函数单调性的定义进行求值判断即可. 【详解】 （1）由，要使是偶函数，则， 即，解得， 所以实数的值为. （2）由，即，整理得， 所以， 因，则，所以，即， 所以，即实数的取值范围为. （3）由题意，在区间上单调递增，任取，则， 即， 整理得， 又因为，则，所以，即， 所以，即实数的取值范围为. 【点睛】 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性和最值的应用，考查学生的运算能力，属于中档题. 7．（2020·江苏省昆山中学高一月考）已知函数，． （1）求函数的值域； （2）设，，，求函数的最小值； （3）对中的，若不等