专练08（解答题-提升，20题）-2020～2021学年高一数学上学期期末考点必杀黄金200题（人教A版2019）

专练08解答题-提升 1．（2020·赣州市赣县第三中学高一期中）设集合，． （1）求； （2）若集合，满足，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）求出集合、，利用交集的定义可求得集合； （2）求出集合，利用条件可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】 （1）由题意，根据指数函数的运算性质，可得， 由对数函数的运算性质，可得， 所以； （2）由题意，可得集合， 因为，所以，解得，即实数的取值范围. 【点睛】 本题主要考查了集合的运算及应用，其中解答中根据指数函数与对数函数的单调性，正确求解集合、是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．已知， 计算：（1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）分子分母同除以，得到，代入的值即可； （2），分子分母同除以，得到，代入的值即可. 【详解】 （1）. （2）. 【点睛】 本题考查同角三角函数的基本关系的应用，涉及到，的齐次式的计算，考查学生转化与化归的思想，是一道容易题. 3．（2020·广东高一期末）已知函数，且． （1）求的解析式； （2）证明在区间上单调递减． 【答案】（1） （） （2）证明见解析 【分析】 （1）根据条件列方程组，解得，，即得结果； （2）根据单调性定义，作差变形，根据差的符号确定单调性. 【详解】 （1）由已知有 解得， ∴ （） （2）证明：设任意，且 ，则 又，且 所以，， ∴，即 ，所以在上单调递减． 【点睛】 本题考查函数解析式以及函数单调性定义，考查综合分析论证与求解能力，属中档题. 4．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上为减函数，求满足不等式的实数a的取值范围. 【答案】或. 【分析】 由幂函数的奇偶性和单调性求出，由的单调性解不等式，注意分类讨论． 【详解】 由于幂函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数，即m为奇数.又该函数在上为减函数，因而，即. 又，从而. 故不等式可化为. 函数的定义域为，且在与上均为减函数，因而，或，或，解得a的取值范围为或. 【点睛】 本题考查幂函数的概念与性质，属于基础题． 5．（2020·福建高一期中）对于函数，若满足(为常数)成立的取值范围所构成的集合称为函数的“倍集合”，已知二次函数 （1）当时，求函数的“倍集合”； （2）若，求关于的不等式的解集. 【答案】（1）或；（2）答案见解析. 【分析】 （1）根据题意可得，解一元二次不等式即可求解. （2）不等式化为，讨论与的大小，根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】 （1）当时， 则，所以，解得或 所以函数的“倍集合”或 （2）由得，所以 所以，因为 所以当时，，原不等式解集为或， 当时，，原不等式解集为R 当时，，原不等式解集为或， 综上所述：当时，原不等式解集为或，， 当时，原不等式解集为R. 当时，原不等式解集为或. 6．（1）已知，求的解析式。 （2）已知是一次函数，且满足．求． （3）已知满足，求． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）利用换元法，令，代入解析式得到关于的表达式，进而得到的解析式； （2）利用待定系数法，设，根据条件列出关于的方程，即可求得答案； （3）利用解方程组法，即写出关于的方程组，从而求得的解析式． 【详解】 （1）令， 因为， 所以，即. （2）设，则， ， ，，；． （3）① 将①中换成，得② ①②得．． 【点睛】 本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查换元法，配凑法，待定系数法，方程组法求解析式，考查方程思想的运用． 7．（2019·郑州市第五中学高一期中）某投资公司计划在甲、乙两个互联网创新项目上共投资1200万元，每个项目至少要投资300万元.根据市场分析预测：甲项目的收益与投入满足，乙项目的收益与投入满足.设甲项目的投入为. （1）求两个项目的总收益关于的函数. （2）如何安排甲、乙两个项目的投资，才能使总收益最大？最大总收益为多少？（注：收益与投入的单位都为“万元”） 【答案】（1）；（2）甲项目投资500万元，乙项目投资700万元时，总收益最大，最大总收益为360万元. 【分析】 （1）根据题意，列出函数解析式，再根据题目要求，求解定义域； （2）将函数进行还原，转化为求解二次函数的最大值问题. 【详解】 （1）由题知，甲项目投资万元，乙项目投资万元. 所以.整理得： 依题意得解得.故. （2）令，则. . 当，即时，的最大值为360. 所以当甲项目投资500万元，乙项目投资700万元时， 总收益最大，最大总收益为360万元. 【点睛】 本题考查函数模型的应用，涉及二次函数最大值问题，属函数应用基础题. 8．（2018·江西南康中学高一期中）计算：（1）； （2）已知，求的值． 【答案