专题01 圆锥曲线中的弦长问题-2021年新高考数学难点解题方法突破（新高考专用）

专题01 圆锥曲线中的弦长问题 一、单选题 1．设椭圆长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，则过焦点且垂直于长轴的弦长是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设椭圆焦点在轴上，椭圆的标准方程为，将或代入椭圆的标准方程，求出，由此可求得结果. 【详解】 设椭圆焦点在轴上，椭圆的标准方程为， 将或代入椭圆的标准方程得，， 解得，因此，过焦点且垂直于长轴的弦长是. 故选：D. 2．已知椭圆，直线l过椭圆C的左焦点F且交椭圆于A，B两点，的中垂线交x轴于M点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 当l：时，，设与椭圆联立可得：， 然后求得的中垂线方程，令 ，得，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得，，建立求解. 【详解】 椭圆的左焦点为, 当l：时，，， 所以， 设与椭圆联立，可得： ， 由韦达定理得：， 取中点为， 所以的中垂线方程为： ， 令 ，得， 所以， 又， 所以， 综上所述， 故选：B. 【点睛】 思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则弦长为 (k为直线斜率)． 注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零． 3．过椭圆9x2+25y2=225的右焦点且倾斜角为45°的弦长AB的长为（ ） A．5 B．6 C． D．7 【答案】C 【分析】 求出焦点坐标和直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得答案. 【详解】 由9x2+25y2=225得，，，所以，右焦点坐标为，直线AB的方程为，所以得， 设，所以， . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查直线与椭圆的弦长公式，由韦达定理的应用. 4．椭圆的左、右焦点分别是、，斜率为的直线l过左焦点且交于，两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先利用等面积法可得：，求解出的值，然后根据弦长公式的取值范围. 【详解】 设内切圆半径为r，由题意得 得，. 故选：B. 【点睛】 本题考查椭圆焦点三角形问题，考查弦长的取值范围问题，难度一般.解答时，等面积法、弦长公式的运用是关键. 二、多选题 5．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于、两点，则（ ） A．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于，则抛物线的方程为 B．若，则直线的斜率为 C．若直线的斜率为，则 D．设线段的中点为，若点到抛物线准线的距离为，则的最小值为 【答案】AD 【分析】 由抛物线的定义求得的值，可判断A选项的正误；设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理可求得的值，可判断B选项的正误；利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可判断C选项的正误；设直线的方程为，设点、，联立直线与抛物线的方程，求得点到轴的距离和，可得出关于的表达式，可判断D选项的正误. 【详解】 对于A选项，由抛物线的定义可得，解得， 所以，抛物线的标准方程为，A选项正确； 对于B选项，如下图所示： 抛物线的焦点为，设点、，设直线的方程为， 联立，消去并整理得，恒成立， 由韦达定理可得，， 由于，由图象可得，即， 所以，，可得，解得， 所以，直线的斜率为，B选项错误； 对于C选项，当直线的斜率为时，由B选项可知，，， 由抛物线的焦点弦长公式可得，C选项错误； 对于D选项，抛物线的焦点到准线的距离为，则该抛物线的方程为. 设直线的方程为，设点、， 联立，消去可得，， 则，， ，点到轴的距离为， 所以，， 当且仅当时，等号成立，D选项正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查直线与抛物线的综合问题，考查了抛物线焦点弦的几何性质以及焦点弦长、焦半径的计算.本题中将直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理得出点、的纵坐标所满足的关系，并结合了抛物线的焦点弦长公式进行计算，考查学生的运算求解能力，属于中等题. 三、解答题 6．如图，是直线上一动点，过点且与垂直的直线交抛物线于，两点，点在，之间． （1）若过抛物线的焦点，求； （2）求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）先求出直线的方程，联立直线与抛物线，将韦达定理和弦长公式相结合即可得结果； （2）设，联立方程组分别求出A，B，P的纵坐标，将表示为关于的函数式，结合基本不等式即可得结果. 【详解】 解：（1）由已知得，所以， 联立得，消去，可得， 设点，， 由根与系数的关系得， 所以． （2）设，由，消