冲刺训练09：用空间向量研究距离、夹角问题-2020-2021学年高二数学期末满分冲刺训练（人教A版2019选择性必修第一册）

冲刺训练09：用空间向量研究距离、夹角问题 1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为(　　) A．10 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先求出＝(1,2，－4)，再利用点面距公式求P(－2,1,4)到α的距离. 【解答】＝(1,2，－4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)， 所以P到α的距离为＝. 故答案为D 【点评】本题主要考查点面距的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力. 2．若O为坐标原点， ＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的坐标，再利用三角形减法法则求的坐标，再求||即得解. 【解答】由题意＝ (＋)＝，＝－＝，||＝. 故答案为D 【点评】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的三角形法则和平行四边形法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 3．已知正四棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，然后利用向量求出答案即可. 【解答】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设与所成角为， 则， ∴． ∴异面直线与所成的角为． 故选：A 【点评】本题考查的是异面直线的求法，考查了学生的计算能力，较简单. 4．已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离. 【解答】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0）， ＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2）， ∴点A到直线BC的距离为： d＝ ＝1×＝． 故选：A 【点评】本题主要考查了向量坐标的运算，向量的模，向量的夹角，属于容易题. 5．在正方体，中，是的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面法向量以及坐标，按线面角向量法求解. 【解答】设正方体边长为，以为坐标原点， 所在的直线分别为轴建立坐标系， 则， 平面法向量为， 设直线与平面所成的角为， . 故选:C. 【点评】本题考查用向量法求直线与平面所成的角，考查计算能力，属于基础题. 6．在直三棱柱中，，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线与所成角的余弦值． 【解答】在直三棱柱中，，且，点是， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设， 则，，，， ，， 设异面直线与所成角为， 则, 异面直线与所成角的余弦值为，故选B． 【点评】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 7．在棱长为1的正方体中，已知点P是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点，，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设直线与平面所成角为θ，异面直线与所成角为，运用向量的数量积的夹角公式，结合二次函数的最值求法，可得所求最小值. 【解答】解：如图，以为坐标原点，，，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 可设P（0，y，z），由A（0，1，0），（1，0，1），，， ， 设直线与平面所成角为θ，异面直线与所成角为， 由平面的一个法向量为， 可得， ， 由，可得， 则， 当时，线段DP长度的最小值为. 故选：C. 【点评】本题考查线面角和异面直线所成角的求法，注意建立空间直角坐标系解决，考查化简运算能力，属于中档题. 8．在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值. 【解答】 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，， 设平面的法向量为 则令可得，所以 设直线与平面所成角为， 故选：B 【点评】本题考查了空间中的角——线面角的求法，考查了空间