冲刺训练06：空间中点、直线和平面的向量表示-2020-2021学年高二数学期末满分冲刺训练（人教A版2019选择性必修第一册）

冲刺训练06：空间中点、直线和平面的向量表示 1．平面的一个法向量为，平面的一个法向量，则平面与平面（ ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】由两个平面法向量的位置关系判断两平面的位置关系 【解答】解：因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量， 所以，所以 所以． 故选：A 【点评】此题考查由空间向量判断两平面的位置关系，属于基础题 2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为＝(1，－3，z)，向量＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于（ ） A．3 B．6 C．－9 D．9 【答案】C 【分析】由题意可得，可得，即可得出． 【解答】由题意可得， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了线面位置关系、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．已知向量，平面的一个法向量，若，则 A．， B．， C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，列出比例式得到结果. 【解答】因为，所以，由，得，. 故选A 【点评】本题考查了空间法向量的定义，空间向量共线的坐标表示，属于基础题． 4．已知，，，则下列向量是平面法向量的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的坐标，设为平面的法向量， 根据，结合选项，可以求出平面法向量. 【解答】, 设为平面的法向量， 则，化简得， ∴，故选C. 【点评】本题考查了求一个平面的法向量问题. 5．平面经过三点，，，则平面的法向量可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对四个选项，通过计算判断是否是平面的法向量. 【解答】设平面的法向量为，对于选项，，故A选项错误.对于B选项，，故B选项错误.对于C选项，，故C选项错误.对于D选项，由于，故D选项符合题意.所以本题选D. 【点评】本小题主要考查空间法向量的概念以及法向量的判断，属于基础题. 6．如图，在正方体ABCD­中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B的中点，F为的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( ) A．(1，－2，4) B．(－4,1，－2) C．(2，－2，1) D．(1，2，－2) 【答案】B 【分析】由A、E、F的坐标算出=（0，2，1），=（﹣1，0，2）．设=（x，y，z）是平面ABC的一个法向量，利用垂直向量数量积为零的方法建立关于x、y、z的方程组，再取y=1即可得到向量的坐标，从而可得答案． 【解答】设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2）， ∴=（0，2，1），=（﹣1，0，2） 设向量=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量 则，取y=1，得x=﹣4，z=﹣2 ∴=（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一个法向量 因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量 故选B． 【点评】本题给出空间三个点的坐标，求三点确定平面的法向量的坐标．着重考查了空间向量数量积的公式和运算性质等知识，属于中档题． 7．已知为平面的一个法向量，为一条直线，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】将“”与“”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【解答】当“”时，由于可能在平面内，所以无法推出“”. 当“”时，“”. 综上所述，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【点评】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查线面平行和法向量，属于基础题. 8．在三棱锥中，、、两两垂直，，，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面的法向量的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设平面的一个法向量为，利用，求出、的值，可得出向量的坐标，然后选出与共线的向量坐标即可. 【解答】，，设平面的一个法向量为， 由则，解得，． 又，因此，平面的一个法向量为. 故选：A. 【点评】本题考查平面法向量的计算，熟悉法向量的计算方法是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 9．如图，在长方体中，，，，分别是，，的中点，记直线与所成的角为，平面与平面所成二面角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线所成角定义可知即为，由正三角形知，可证，分别为平面和平面的垂线，视作平面法向量，利用其夹角可得二面角，即可求解. 【解答】连接,如图， 在长方体内知, 所以为异面直线与所成的角为， 易知为等边三角形， 所以， 因为平面,平面， 所以 又， 所以平面， 同理可得平面， 则，可分别视为平面，平面的一个法向量， 又因为在长方体内易知，而 故与的夹角为， 所以或， 即， 故选：B 【点评】求解二面角的常见方法有定义法、垂面法、投影面积法、空间向量法等，其中空间向量法是利用二面角与两平