5.3导数在研究函数中的应用-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修二同步讲义

5.3 导数在研究函数中的应用 SHAPE \* MERGEFORMAT 1、函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： （1）若 >0，则f(x)在这个区间内单调递增； （2）若 <0，则f(x)在这个区间内单调递减； （3）若 ＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 注意：函数f(x)在区间(a，b)上递增，则 ≥0，“ >0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. 2、求函数单调区间的步骤： （1）确定函数f(x)的定义域； （2）求 ； （3）在定义域内解不等式 >0，得单调递增区间； （4）在定义域内解不等式 <0，得单调递减区间. （5）若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接. 3、运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的一般步骤： （1）先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数 ； （2）求方程 ＝0的根； （3）检查导数 在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. （4）特别注意：导数为零的点不一定是极值点. 4、利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤： （1）求函数在(a，b)内的极值； （2）求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； （3）将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. （4）求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值 题型一 单调性 例1　函数的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 依题意，可求得 ，由 即可求得函数 的单调减区间． 【详解】 解： ， ， 令 由图得： ， 函数 的单调减区间是 ， 故选： ． 已知函数 ，求函数 的单调区间. 【答案】单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 【分析】 对函数求导，求得 、 的解集即可得解. 【详解】 函数 的定义域为R， ， 单调递增， 令 可得 ， 当 时， ；当 时， ； 所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 题型二 极值 例 2　函数有（ ） A．极大值 ，极小值 B．极大值 ，极小值 C．极大值