冲刺训练02：空间向量的数量积运算-2020-2021学年高二数学期末满分冲刺训练（人教A版2019选择性必修第一册）

冲刺训练02：空间向量的数量积运算 1．设 是空间不共面的四点，且满足 ， ， ，则 是 　　 A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】由 ， ， ，可得 ， 是锐角，同理可得 ， 都是锐角，从而可得结果． 【详解】因为 ， ， ， 所以 ， ，故 是锐角， 同理 ， ，可得 ， 都是锐角， 故 是锐角三角形，故选B． 【点评】本题主要考查向量的数量积的运算以及向量运算的三角形法则，属于中档题．判断三角形的形状有两种基本的方法： 看三角形的角； 看三角形的边 2．在正方体 中，点E是棱 的中点，点F是线段 上的一个动点．有以下三个命题： ①异面直线 与 所成的角是定值； ②三棱锥 的体积是定值； ③直线 与平面 所成的角是定值． 其中真命题的个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】以A点为坐标原点，AB,AD, 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系, 可得 =(1,1,1), =(t-1，1，-t)，可得 =0,可得①正确； 由三棱锥 的底面 面积为定值，且 ∥ ,可得②正确； 可得 =(t，1，-t)，平面 的一个法向量为 =（1，1，1），可得 不为定值可得③错误，可得答案. 【详解】解:以A点为坐标原点，AB,AD, 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，可得B(1,0,0),C(1,1,O),D(0,1,0), (0,0,1), (1,0,1), (1,1,1), (0,1,1),设F(t，1，1-t)，（0≤t≤1）， 可得 =(1,1,1), =(t-1，1，-t)，可得 =0，故异面直线 与 所的角是定值，故①正确； 三棱锥 的底面 面积为定值，且 ∥ ,点F是线段 上的一个动点，可得F点到底面 的距离为定值，故三棱锥 的体积是定值，故②正确； 可得 =(t，1，-t)， =(0,1,-1), =(-1,1,0),可得平面 的一个法向量为 =（1，1，1），可得 不为定值，故③错误; 故选B. 【点评】本题主要考查空间角的求解及几何体体积的求解，建立直角坐标系，是解题的关键. 3．点 是棱长为1的正方体 的底面 上一点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以点 为原点，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点 的坐标为 ，其中 ，用坐标运算计算出 ，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围． 【详解】以点 为原点，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示； 则点 设点 的坐标为 ，由题意可得 ， ， 由二次函数的性质可得，当 时 取得最小值为 ； 当 或1，且 或1时， 取得最大值为0， 则 的取值范围是 故选D． 【点评】本题考查空间向量的数量积运算，解题方法量建立空间直角坐标系，引入坐标后，把向量的数量积用坐标表示出来，然后利用函数的性质求得最大值和最小值． 4．如图所示，在正方体 中，若 为 的中点，则 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以 ， ， 为基底，表示出 ， ，利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】设正方体的棱长为1， 记 ， ， ，则 ， ． 因为 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ． 又因为 ， ， 所以 ， 所以 与 所成角的余弦值为 ． 故选：A 【点评】本题主要考查了向量的线性运算，数量积的运算，夹角公式，考查了运算能力，属于中档题. 5．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形，侧棱 的长为2，且 与 ， 的夹角都等于 ．若 是 的中点，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设 ， ， ，根据向量的线性运算表示出 EMBED Equation.DSMT4 ，平方后利用向量的数量积运算即可求解. 【详解】记 ， ， ， 因为 ， ， 所以 ， ． 又因为 ， ， 所以 ， ． 易得 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ． 故选：A 【点评】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积运算及性质，考查了运算能力，属于中档题. 6．已知a、b是异面直线，且 ， ， 分别为直线 ， 上的单位向量，且 ， ， ，则实数 的值为（ ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据题意 ，利用向量的数量积运算即可求值. 【详解】由题意知 ， 由 得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B 【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，向量垂直的向量