专题01《有理数》-期末挑重点之2020-2021学年上学期七年级数学（湘教版）

专题01《有理数》 一、有理数的基本概念 1.正数：大于0的数叫做正数；例如：3， ，0.32 负数：小于0的数叫做负数。例如： 备注：在正数前面加“-”的数是负数；“0”既不是正数，也不是负数。（我们把正数和0统称为非负数） 2. 有理数：整数和分数统称有理数。（有理数是指有限小数和无限循环小数。切记：） 3.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。 性质：（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； （2）正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切负数； （3）所有有理数都可以用数轴上的点表示。 4. 相反数：只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数。例如：5与－5 。 性质：（1）数a的相反数是-a（a是任意一个有理数） 。例如： （2）0的相反数是0； （3）若a、b互为相反数，则a+b=0； 5. 倒数 ：乘积是1的两个数互为倒数 。 性质：（1）a的倒数是 （a≠0）； （2）0没有倒数 ； （3）若a与b互为倒数，则ab=1； 6、倒数与相反数的区别和联系： （1）与-互为相反数； 与（≠ 0）互为倒数； （2）符号上：互为相反数（除0外）的两数的符号相反；互为倒数的两数符号相同； （3）a、b互为相反数，则 a+b=0；a、b互为倒数则 ab=1； （4）相反数是本身的数是0，倒数是本身的数是±1 。 7.绝对值：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。 性质：（1）数a的绝对值记作︱a︱。例如： （2）若a＞0，则︱a︱= a；即正数的绝对值是它本身。 若a＜0，则︱a︱= -a；负数的绝对值是它的相反数； 若a =0，则︱a︱=0；0的绝对值是0. （3） 对任何有理数a,总有︱a︱≥0. 8. 有理数大小的比较: （1） 可通过数轴比较：在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数； （2） 两个负数，绝对值大的反而小。例如： 9.科学记数法：把一个绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法。其中1≤|a|＜10，n为正整数， n等于原数的整数位数减去1。例如： 二、有理数的运算 1、运算法则： （1）有理数加法法则：① 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加；② 异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得0； ③ 一个数同0相加,仍得这个数。（即：任意两个数相加，符号看大数字的。符号相同，数字相加；符号不同，数字相减。） （2）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)。 （3）有理数的乘法法则：两个数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。规律：① 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。② 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。 （4）有理数除法法则：①除以一个数等于乘上这个数的倒数；即 (b≠0)； ② 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数,都得0。 （5）有理数的乘方 ①求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。 即a·a·a· ··· ·a= （注意： 2、运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先进行括号里面的运算。 3、有理数的运算律： （1)加法交换律：a+b=b+a ；（2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；（3)乘法交换律：ab=ba ； （4)乘法结合律：(ab)c=a(bc)；（5)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 。 考点一、相反意义的量 例1. （2020湖南中考）若向北走记作，则向南走，记作(        ) A. B. C. D. 【解析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向北走记为正，则向南走就记为负，直接得出结论即可． 【解答】解：如果向北走记作，那么向南走记作.故选. 【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 考点二：相反数、倒数、绝对值、乘方等重要慨念 例2.（2020湖南中考）的相反数是(        ) A. B. C. D. 【解析】直接利用相反数的定义得出答案． 【解答】解：的相反数是：. 故选. 【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．  例3.（2020云南中考）的倒数是(