专题09 几何探究题-2021年中考数学专项训练（河南专用）

专题09 几何探究题 1.（2020牡丹江）如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F． （1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）； （2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明． 【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质以及翻折变换，是一道综合型的题目，难度不大，而证明三角形的全等是解题的关键． 【解答】（1）由折叠可得AB=AB′，BE=B′E， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=DC=DF，∠CB′E=45°， ∴B′E=B′F， ∴AF=AB′+B′F， 即DF+BE=AF； （2）图（2）的结论：DF+BE=AF； 图（3）的结论：BE﹣DF=AF； 图（2）的证明：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG， 需证△ABE≌△ADG， ∵CB∥AD， ∴∠AEB=∠EAD， ∵∠BAE=∠B′AE， ∴∠B′AE=∠DAG， ∴∠GAF=∠DAE， ∴∠AGD=∠GAF， ∴GF=AF， ∴BE+DF=AF； 图（3）的证明：在BC上取点M，使BM=DF，连接AM， 需证△ABM≌△ADF， ∵∠BAM=∠FAD，AE=AM ∵△ABE≌A′BE ∴∠BAE=∠EAB′， ∴∠MAE=∠DAE， ∵AD∥BE， ∴∠AEM=∠DAB， ∴∠MAE=∠AEM， ∴ME=MA=AF， ∴BE﹣DF=AF． 2．（2020•金华）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°． （1）求BC边上的高线长． （2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF． ①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数． ②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长． 【解析】（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可． （2）①证明BE＝EP，可得∠EPB＝∠B＝45°解决问题． ②如图3中，由（1）可知：AC，证明△AEF∽△ACB，推出，由此求出AF即可解决问题． 【解答】（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D． 在Rt△ABD中，AD＝AB•sin45°＝44． （2）①如图2中， ∵△AEF≌△PEF， ∴AE＝EP， ∵AE＝EB， ∴BE＝EP， ∴∠EPB＝∠B＝45°， ∴∠PEB＝90°， ∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°． ②如图3中，由（1）可知：AC， ∵PF⊥AC， ∴∠PFA＝90°， ∵△AEF≌△PEF， ∴∠AFE＝∠PFE＝45°， ∴∠AFE＝∠B， ∵∠EAF＝∠CAB， ∴△AEF∽△ACB， ∴，即， ∴AF＝2， 在Rt△AFP，AF＝FP， ∴APAF＝2． 方法二：AE＝BE＝PE可得直角三角形ABP，由PF⊥AC，可得∠AFE＝45°，可得∠FAP＝45°，即∠PAB＝30°． AP＝ABcos30°＝2． 3.（2020重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF． （1）求证：CFAD； （2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长． 【解析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°，可求∠BCE＝90°，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论； （2）过点G作GH⊥BC于H，设CD＝a，可得BD＝2a，BC＝3a，AB＝ACa，由全等三角形的性质可得BD＝CE＝2a，由锐角三角函数可求GH＝2CH，可求CH＝a，可求BG的长，即可求AGaCDBC； （3）将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，可得当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，由旋转的性质可得△BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形，可得∠BPN＝∠BNP＝60°，BM＝CM，由直角三角形的性质可求解． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAE，DEAD， 又∵AB＝AC， ∴△