第11期 24.1测量 24.2直角三角形的性质24.3锐角三角函数-【数理报】2021中考数学一轮复习(华东师大版)(答案见下期)

书书书 三角函数的求值问题是本章的基础问题，也是中考 的常考题型，其类型多变，解法灵活，有一定的技巧性． 下面介绍常用的四种方法，供大家参考． 一、回归定义 例１　在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝１３，ＡＣ＝５， 则ｓｉｎＡ的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．５ １３ Ｂ．１２ １３ Ｃ．５ １２ Ｄ．１２ ５ 分析：先根据勾股定理求出ＢＣ，再根据正弦的定义 计算即可． 解：在 Ｒｔ△ＡＢＣ中， 由 勾 股 定 理 得，ＢＣ ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝１２．所以ｓｉｎＡ＝ＢＣ ＡＢ ＝１２ １３ ．故选Ｂ． 二、巧设参数 例２　在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，如果ｔａｎＡ＝ ５ １２ ，那 么ｓｉｎＢ＝ ． 分析：根据 ∠Ａ的正切值设两直角边分别为 ５ｋ， １２ｋ，然后再利用勾股定理求出斜边，进而可求出∠Ｂ的 正弦值． 解：由ｔａｎＡ＝５ １２ ，可设ＡＣ＝１２ｋ，ＢＣ＝５ｋ，所以ＡＢ ＝ （１２ｋ）２＋（５ｋ）槡 ２ ＝１３ｋ， 所以ｓｉｎＢ＝ＡＣ ＡＢ ＝１２ｋ １３ｋ ＝１２ １３ ．故填１２ １３ ． 三、等角代换 例３　如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ ＝８，ＢＣ ＝６，ＣＤ⊥ ＡＢ，垂足为 Ｄ，则 ｔａｎ∠ＢＣＤ的值是 ． 分析：本题无法直接求解， 根据图形的特征可得 ∠Ａ＝ ∠ＢＣＤ，然后在Ｒｔ△ＡＢＣ中根据锐角三角函数的定义求解． 解：因为∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°，∠ＢＣＤ＋∠Ｂ＝９０°， 所以∠Ａ＝∠ＢＣＤ，所以ｔａｎ∠ＢＣＤ＝ｔａｎＡ＝ ＢＣ ＡＣ ＝６ ８ ＝ ３ ４ ．故填 ３ ４ ． 四、构造直角 例４　∠ＢＡＣ放在正方形网格纸 的位置如图 ２，则 ｔａｎ∠ＢＡＣ的值为 ． 分析：连结 ＣＤ，利用勾股定理分 别计算出 ＡＤ，ＡＣ，ＣＤ的长，证明 ∠ＡＤＣ＝９０°，再利用三角函数定义可 得答案． 解：连结ＣＤ，如图２．设每个小正方形边长为１，则 ＡＤ＝ 槡２２，ＣＤ＝槡２，ＡＣ＝ 槡１０，（槡２２） ２ ＋（槡２） ２ ＝ （槡１０） ２ ，所以 ∠ＡＤＣ＝９０°．所以 ｔａｎ∠ＢＡＣ＝ ＣＤ ＡＤ ＝ 槡２ 槡２２ ＝ １ ２ ．故填 １ ２ ． 书书书 同学们在学习锐角三角函数时，常常因为对概念 理解不透、方法运用不当，而出现一些错解．下面就对 此予以诊治． 一、对三角函数的实质理解不透 例１　 若把 Ｒｔ△ＡＢＣ的各边都扩大 ３倍得到 Ｒｔ△Ａ′Ｂ′Ｃ′，则∠Ａ，∠Ａ′的余弦值的关系是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｃｏｓＡ＝３ｃｏｓＡ′ Ｂ．３ｃｏｓＡ＝ｃｏｓＡ′ Ｃ．ｃｏｓＡ＝ｃｏｓＡ′ Ｄ．不能确定 错解：选Ａ或Ｄ． 诊断：在直角三角形中，锐角的余弦是该角的邻边 与斜边的比，三边都扩大３倍后对应边的比值不变．错 解没有真正理解这一实质，误把“无关”当“有关”． 正解： 二、错将“符号”当运算 例２　计算：ｃｏｓ６０°＋ｃｏｓ４５°． 错解：ｃｏｓ６０°＋ｃｏｓ４５°＝ｃｏｓ（６０°＋４５°）＝ｃｏｓ１０５°． 诊断：错因是对表示锐角三角函数的符号不理解， 误认为ｃｏｓＡ就是“ｃｏｓ”与“Ａ”的乘积，而乱用乘法分 配律．实际上ｃｏｓＡ是一个完整的符号，表示锐角Ａ的余 弦值． 正解： 三、忽视锐角三角函数值的取值范围 例３　已知ｓｉｎα（α为锐角）是方程３ｘ２－７ｘ＋２＝ ０的根，求ｓｉｎα的值． 错解：解方程３ｘ２－７ｘ＋２＝０，得ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝ １ ３ ， 所以ｓｉｎα＝２或ｓｉｎα＝ １ ３ ． 诊断：因为直角边小于斜边，所以锐角的正弦值应 在０与１之间，而错解却忽视了这一点． 正解： 四、忽视分类讨论 例４　在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝４，ＡＢ＝５，求ｓｉｎＡ的值． 错解：ｓｉｎＡ＝ＢＣ ＡＢ ＝ ４ ５ ． 诊断：错解是受勾股数３，４，５这一思维定势的影 响，误认为ＡＢ是斜边而致错．事实上，题目未明确哪一 边是斜边，应分类讨论． 正解： 五、忽视锐角三角函数运用的前提 例５　已知ａ，ｂ，ｃ为△ＡＢＣ的三边，且ａ＝ｂ＝５， ｃ＝６，求ｃｏｓＢ，ｔａｎＢ的值． 错解：因为ａ＝５，ｂ＝５，ｃ＝６， 所以ｃｏｓＢ＝ ａ ｃ ＝ ５ ６ ，ｔａｎＢ＝ ｂ ａ ＝ ５ ５ ＝１． 诊断：锐角三角函数的运用，必须是在直角三角形 中，显然 △ＡＢＣ不是直角三角形，错解却以“斜”代 “直”．正确解法应把∠Ｂ放在直角三角形中． 正解： 书书书 四、２２．８；　２３．８ ５ ； 　２４．ｋ２０１９（２ ＋ ｋ）； 　２５．７ ４ 或 ２５ ８ ． 五、２６．（１）证明： 因为四边形ＡＢＣＤ和四 边形ＡＣＥＤ都是平行四 边形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ ∥ ＤＥ，所以 ∠ＢＡＣ＝ ∠ＡＣＤ，∠ＡＣＤ ＝ ∠ＣＤＥ，所以 ∠ＢＡＣ＝ ∠ＱＤＲ．因为ＡＢ∥Ｃ