第17期 26.1二次函数 26.2二次函数的图象与性质-【数理报】2021中考数学一轮复习(华东师大版)(答案见下期)

书书书 二次函数是函数大家族中极为重要的成员，它的许 多性质在我们实际生活中有着广泛应用，因此同学们学 习时一定要深刻领会二次函数的概念，通过对问题情景 的分析确定二次函数的表达式，为运用二次函数及其性 质解决实际问题打下坚实的基础． 一、二次函数的概念 一般地，形如ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠０） 的函数，叫做二次函数．其中，ｘ是自变量，ａ，ｂ，ｃ分别是 函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项． 注意： （１）二次函数就是说自变量ｘ的最高次数是２； （２）特别要注意ａ≠０这一个条件．若ａ＝０，表达式 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ中就不含有二次项，它就成了一次函数 ｙ＝ｂｘ＋ｃ； （３）当ｂ＝０，ｃ＝０时，ｙ＝ａｘ２是特殊的二次函数． 例１　下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是二 次函数？ （１）ｙ＝ｘ＋１ ｘ ；　（２）ｙ＝（３ｘ－１）２－９ｘ２； （３）ｙ＝１０πｒ２；　（４）ｙ＝槡３ｘ ３＋２ｘ２－５； （５）ｙ＝３（ｘ－１）２＋２０２０；　（６）ｙ＝ １ ２ｘ２ ＋４ｘ． 解析：（１）的最高次数不是２，且含有自变量的式子 包含分式；（２）利用去括号与合并同类项后得ｙ＝－６ｘ＋ １，是一次函数；（３）是二次函数；（４）的自变量的最高次 数是３；（５）整理后可得ｙ＝３ｘ２－６ｘ＋２０２３，符合二次 函数的定义；（６）的最高次数是２，但含有自变量的式 子包含分式． 答案：（３）（５）是二次函数，（１）（２）（４）（６）不是二 次函数． 方法指导：识别二次函数的关键是：（１）函数的表 达式是整式；（２）经化简整理后，自变量的最高次数是 ２；（３）二次项系数不等于零． 二、建立二次函数模型 解有关二次函数的应用题，与一次函数应用题类 似，都是寻找等量关系，如总利润 ＝单件利润 ×数量， 长方形的面积 ＝长 ×宽等． 例２　用一根长为８００ｃｍ的木条做一个矩形窗框， 若宽为ｘｃｍ，写出它的面积ｙ与ｘ之间的函数表达式，并 判断ｙ是ｘ的二次函数吗？ 解析：根据矩形的周长表示出长，根据面积 ＝长 × 宽即可得出ｙ与ｘ之间的函数表达式． 答案：由题意得，矩形的周长为８００ｃｍ， 所以矩形的长为 ８００－２ｘ ２ ｃｍ， 所以ｙ＝ｘ×８００－２ｘ ２ ＝－ｘ２＋４００ｘ（０＜ｘ＜４００）． 所以ｙ是ｘ的二次函数． 方法指导：列二次函数的表达式要遵循以下步骤： （１）审清题意，找出实际问题中的已知量、未知量，并把 未知量用字母表示；（２）找出已知量、未知量之间的数 量关系，用代数式表示；（３）找出等量关系，把文字语 言、图形语言等用等式表示，并把等式化为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ ＋ｃ（ａ≠０）的形式． 书书书 一、ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）的图象及性质 二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）的图象是一条抛物线，它 的对称轴是ｙ轴，顶点是原点（０，０）． （１）用描点法作二次函数的图象：①列表；②描点； ③连线． （２）当ａ＞０和ａ＜０时，二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０） 的图象具有不同的性质，现总结如下： 二次项 系数 图象 开口 方向 对称 轴 顶点 坐标 增减性 ａ＞０ 向上 ｙ轴 （０，０）， 为最 低点 当ｘ＜０时，ｙ随ｘ 的增大而减小；当 ｘ＞０时，ｙ随ｘ的 增大而增大． ａ＜０ 向下 ｙ轴 （０，０）， 为最 高点 当ｘ＜０时，ｙ随ｘ 的增大而增大；当 ｘ＞０时，ｙ随ｘ的 增大而减小． 抛物线ｙ＝ａｘ２的开口大小与 ｜ａ｜的关系非常密 切，当｜ａ｜越大时，抛物线的开口越小；当｜ａ｜越小时， 抛物线的开口越大． 例１　若抛物线ｙ＝ａｘ２经过点Ｎ（－２，－８），则ａ 的值是 （　　） Ａ．－４　　　　　　　　　　Ｂ．４ Ｃ．－２　　　 Ｄ．２ 解析：将 Ｎ（－２，－８）代入ｙ＝ａｘ２，计算ａ的值即可． 答案：选Ｃ． 方法指导：用待定系数法求表达式时，函数图象上 点的坐标满足表达式，反之，满足表达式的坐标确定的 点一定在函数图象上． 二、ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）的图象及性质 二次函数ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）的图象是一条 抛物线，它的对称轴是直线ｘ＝ｈ，顶点坐标为（ｈ，ｋ）．二 次函数ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）的性质与ａ，ｈ，ｋ的关 系密切，现总结如下： 二次项 系数 图象 开口 方向 对称 轴 顶点 坐标 增减性 ａ＞０ 向上 ｘ＝ｈ（ｈ，ｋ） 当ｘ＜ｈ时，ｙ随ｘ的 增大而减小；当ｘ＞ ｈ时，ｙ随 ｘ的增大 而增大；当 ｘ＝ｈ 时，ｙ有最小值，其 最小值为ｋ． ａ＜０ 向下 ｘ＝ｈ（ｈ，ｋ） 当ｘ＜ｈ时，ｙ随ｘ的 增大而增大；当ｘ＞ ｈ时，ｙ随 ｘ的增大 而减小；当 ｘ＝ｈ 时，ｙ有最大值，其 最大值为ｋ． 例２　对于抛物线ｙ＝－１ ２ （ｘ－２）２＋６，有下列结 论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线ｘ＝２；③顶 点坐标为（