上海市进才中学2021届高三上学期12月月考数学试题

进才中学高三月考数学试卷 一、填空题 1. 若集合 ，，则 ______. 【答案】 2. 若 、 满足约束条件 ，则 的最小值为________ 【答案】 3. 已知向量 ，且 ，求实数 _______ 【答案】5 4. 直线 与直线 ，若的方向向量是的法向量，则实数 ． 【答案】 5. 的展开式中，含 项的系数为______. 【答案】 6. 通过手机验证码登录哈喽单车App，验证码由四位不同数字随机组成，如某人收到的验证码 满足 ，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为________ 【答案】 7. 已知等比数列 满足 ，则 ________________. 【答案】 8. 设函数 ，其中 .若函数 在 上恰有2个零点，则 的取值范围是________． 【答案】 9. 欧拉公式 ，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列 的通项公式为 EMBED Equation.DSMT4 （ ），则数列 前2020项的乘积为________ 【答案】 10. 已知函数 （ ）的反函数为 ，当 时，函数 EMBED Equation.DSMT4 的最大值为 ，最小值为 ，则 ________ 【答案】2 11. 已知实数 同时满足：（1） ，其中 是 边 延长线上一点：（2）关于 的方程 在 上恰有两解，则实数 的取值范围是___________ 【答案】 ． 12. 已知数列 的首项为 ，且满足 ，则下列命题：① 是等差数列；② 是递增数列；③设函数 ，则存在某个区间 ，使得 在 上有唯一零点；则其中正确的命题序号为________ 【答案】②③ 二、选择题 13. 直线 与圆 的位置关系是（ ） A 相交且过圆心 B. 相交且不过圆心 C. 相切 D. 相离 【答案】B 14. 已知函数 的图象是由函数 的图象经过如下变换得到：先将 的图象向右平移 个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数 的图象的一条对称轴方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 15. 已知数列 ，以下两个命题： ①若 都是递增数列，则 都是递增数列； ②若 都是等差数列，则 都是等差数列； 下列判断正确的是（　　） A. ①②都是真命题 B. ①②都是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 【答案】D 16. 已知单位向量 ，且 ，若 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 三．解答题 17. 如图所示，在长方体 中， ， 棱 上一点． （1）若 ，求异面直线 和 所成的角； （2）若 ，求点 到平面 的距离． 【答案】（1） 或 或 ；（2） ． 18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a=3c，b= ，cosB= ，求c值； （2）若 ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） . 19. 某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前 个月的需求量 （万吨）与 的函数关系为 ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨． （1）试写出第 个月石油调出后，油库内储油量 （万吨）与 的函数关系式； （2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定 的取值范围． 【答案】（1） ，（ ）；（2） ． 20. 已知数列 、 的各项均为正数，且对任意 ，都有 、 、 成等差数列， 、 、 成等比数列，且 ． （1）求证：数列 是等差数列； （2）求数列 、 的通项公式； （3）设 ，如果对任意 ，不等式 恒成立，求实数 取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） ． 21. 设对集合 上的任意两相异实数 ， ，若 恒成立，则称 在 上优于 ；若 恒成立，则称 在 上严格优于 . （1）设 在 上优于 ，且 是偶函数，判断并证明 的奇偶性； （2）若 在 上严格优于 ， ，若 是 上的增函数，求证： 在 上也是增函数； （3）设函数 ， ，若 ，是否存在实数 使得 在 上优于 ，若存在，求实数 的最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在， . 本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。 登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。 试卷地址：在组卷网浏览本卷 组卷网是学