专题08 猜想与证明-2021届中考数学压轴大题专项训练

专题08 猜想与证明 2021届中考数学压轴大题专项训练（原卷版） 1．已知在平面直角坐标系内的位置如图，，，、的长满足关系式． （1）求、的长； （2）求点的坐标； （3）在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．在平面坐标系中，已知线段，且的坐标分别为，点为线段的中点. （1）线段与轴的位置关系是 （2）求点的坐标。 （3）在轴上是否存在点，使得三角形面积为3.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 3．探索与证明： （1）如图①，直线经过正三角形的顶点，在直线上取点，，使得，．通过观察或测量，猜想线段，与之间满足的数量关系，并予以证明； （2）将（1）中的直线绕着点逆时针方向旋转一个角度到如图②的位置，，．通过观察或测量，猜想线段，与之间满足的数量关系，并予以证明． 4．如图，钝角中，，为上一点，，为上一点，． （1）作于，交的延长线于． ①判断与的大小关系，并说明理由． ②求证； （2）若，，求的长． 5．如图，在中，，点为边上的一点，，且，点关于直线的对称点为，连接，又的边上的高为． （1）求的大小； （2）判断直线，是否平行？并说明理由； （3）证明：． 6．如图，边长为的正方形中，P是对角线上的一个动点（点P与A、C不重合），连接，将绕点B顺时针旋转90°到，连接，与交于点E，延长线与（或延长线）交于点F． （1）连接，证明：； （2）设，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，； （3）猜想与的数量关系，并证明你的结论． 7．问题提出： （1）同一平面内的两条线段和，已知，，则线段最大值是______；最小值是______． 问题探究： （2）如图，四边形中，，，，且，问是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 问题解决：（自行作图并解决） （3）在中，，，以为一边作正方形，连接，问是否存在最大值或者最小值?若存在，求出相应最值；若不存在，请说明理由． 8．如图，在直角中，，，，是边上的中线，直线，是边延长线上一点，连接并延长交直线于点，将沿翻折得，射线交直线于点． （1）如图1，当时，求的长． （2）如图2，当点在点的上方时，求证：． （3）如果的面积为，求的长． 9．如图，在ABC中，∠ABC＝60°，点D，E分别为AB，BC上一点，BD＝BE，连接DE，DC，AC＝CD． （1）如图1，若AC＝3，DE＝2，求EC的长； （2）如图2，连接AE交DC于点F，点M为EC上一点，连接AM交DC于点N，若AE＝AM，求证：2DE＝MC； （3）在（2）的条件下，若∠ACB＝45°，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系． 10．如图，已知直线y=kx+8的与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，点C 在x轴负半轴上，直线y=x+b经过点C，直线y=x+b与直线AB交于点E，线段OA，OC的长满足． （1）求OA，OC的长； （2）求点E的坐标； （3）若点P在x轴上，在平面内是否存在点Q，使以C，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 11．如图，已知抛物线经过点A(-3，0)，C(0，3)，交x轴于另一点B，其顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上一点，直线CP交x轴于点E，若△CAE与△OCD相似，求P点坐标； （3）如果点F在y轴上，点M在直线AC上，那么在抛物线上是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出菱形的周长；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A(1，4)，点B(3，2)，连接OA，OB． （1）求直线OB与AB的解析式； （2）求△AOB的面积． （3）下面两道小题，任选一道作答．作答时，请注明题号，若多做，则按首做题计入总分． ①在y轴上是否存在一点P，使△PAB周长最小．若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． ②在平面内是否存在一点C，使以A，O，C，B为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点C坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题08 猜想与证明 2021届中考数学压轴大题专项训练（解析版） 1．已知在平面直角坐标系内的位置如图，，，、的长满足关系式． （1）求、的长； （2）求点的坐标； （3）在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【解析】解：⑴由.可知， ， ∴. ⑵作轴与点D， ⑶存在. 当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，则为等腰三角形，P的坐标为； 当点P在x轴的负半轴时，使CP=AC，由勾股定理得，CP=AC=5，则为等腰三角形，P的坐标为； 当点